对于随机变量，我们不仅要知道它可能取哪些值，还需要知道它在数轴上各种区间内取值的统计规律，即求随机变量落在某区间（x1，x2]中的概率P（x1 <X≤x2）.但由于P（x1 <X≤x2）=P（X≤x2）-P（X≤x1），由此可见研究P（x1 <X≤x2）就归结为研究形如P（X≤x）的概率问题，其中x 为任意实数.显然这个事件（X≤x）的概率P（X≤x）依赖于x 的变化而变化，它是x 的函数，我们称这函数为分布函数.于是引入随机变量分布函数的概念.

定义2.4　设X 是一个随机变量，x 为任意实数，函数

称为随机变量X 的分布函数（distribution function）.

对于任意实数x1，x2（x1 <x2），有

因此，若已知X 的分布函数F（x），我们就能知道X 在任何一个区间（x1，x2]上的概率，从这个意义上说，分布函数完整地描述了随机变量的统计规律性.

分布函数是定义在全体实数上的一个普通实值函数，同时分布函数也具有明确的概率意义：对任意实数x，F（x）在x 点的函数值就是随机变量X 落在区间（-∞，x]上的概率.

分布函数具有如下基本性质：(www.daowen.com)

①F（x）关于x 是单调不减的函数.

②0≤F（x）≤1（-∞<x<+∞），且

③F（x）是右连续的，即对于任意实数x0，有

证明　略.

反之，任何一个满足上述三条性质的单值实函数，一定是某一随机变量的分布函数.

上述三条性质是判定一个函数F（x）能否成为某一随机变量的分布函数的充分与必要条件.