在概率论中，把在同样条件下重复进行试验的数学模型称为独立重复试验概型.进行n 次试验，若任何一次试验中各个结果发生的可能性都不受其他各次试验结果发生情况的影响，则称这n 次试验是相互独立的.

假设在每次试验中某事件A 发生或者不发生，我们可以只取事件A 与，这种只有两个可能结果的试验称为伯努利试验.假设每次试验的结果与其他各次试验结果无关，即在每次试验中A 出现的概率都是p（0 <p<1），这样的一系列重复试验（比如n 次），称为n 重伯努利试验.因此，n 重伯努利试验共有两个关键参数，一个是每次试验A 发生的概率p，一个是试验次数n.

定理1.6（伯努利定理）　设一次试验中事件A 发生的概率为p（0 <p <1），则n 重伯努利试验中，事件A 恰好发生k 次的概率用Pn（k）表示，则

其中，q=1-p.

例1.30　一条自动生产线上产品的一级品率为0.6，现检查了10 件，求至少有两件一级品的概率.

解　设B 为事件至少有两件一级品，此为n=10 重伯努利试验，事件A（抽到一级品）的概率p=0.6，则

例1.31　一个人要开门，他共有n 把钥匙，其中仅有一把能开这门.他随机地选取一把钥匙开门，即在每次试开时每一把钥匙都以的概率使用，这人在第k 次试开时成功的概率是多少？

解　这是一个伯努利试验，Ai=“第i 次打开门”i=1，2，…，n，p=，设Bk=“直到第k 次试开才成功”，当且仅当在前k-1 次试开中事件Ai 不发生（i=1，2，…，k-1），而第k 次试开时Ak 发生，即

利用事件的独立性，有

例1.32　一张英语试卷，有10 道选择填空题，每题有4 个选择答案，且其中只有一个是正确答案.某同学投机取巧，随意填空，试问他至少填对6 道题的概率是多大？

解　设B=“他至少填对6 道”，每答一道题有两种可能结果：A=“答对”及=“答错”，P（A）=，故做10 道题就是做10 重伯努利试验，n=10，所求概率为(www.daowen.com)

人们在长期实践中总结得出“概率很小的事件在一次试验中实际上几乎是不发生的”（称之为实际推断原理），故由本例可知，该同学随意猜测，能在10 道题中猜对6 道以上的概率是很小的，在实际中几乎是不会发生的，当然，我们也可以看到该同学10 道题全部猜错的概率也很小.

小知识

概率的起源

概率的概念起源于中世纪以来的欧洲流行的用骰子赌博，这一点不难理解，某种情况出现可能性的大小要能够体察并引起研究的兴趣，必须满足两个条件：一是该情况可以在多次重复中被观察其发生与否（在多次重复下出现较频繁的情况有更大的概率），一是该情况发生与否与当事人的利益有关或为其兴趣关注之所在，用骰子赌博满足这些条件.

当时有一个“分赌本问题”曾引起热烈的讨论，并经历了长达一百多年才得到正确的解决.在这过程中孕育了概率论一些重要的基本概念，举该问题的一个简单情况：甲、乙二人赌博，各出赌注30 元，共60 元，每局甲、乙胜的机会均等，都是1/2.约定：谁先胜满3 局则他赢得全部赌注60 元，现已赌完3 局，甲2 胜1 负，而因故中断赌局，问这60 元赌注该如何分给2 人才算公平，初看觉得应按2∶1分配，即甲得40 元，乙得20 元，还有人提出了一些另外的解法，结果都不正确，正确的分法应考虑到如在这基础上继续赌下去，甲、乙最终获胜的机会如何，至多再赌2 局即可分出胜负，这2 局有4 种可能结果：甲甲、甲乙、乙甲、乙乙.前3 种情况都是甲最后取胜，只有最后一种情况才是乙取胜，二者之比为3∶1，故赌注的公平分配应按3∶1的比例，即甲得45 元，乙15 元.

当时的一些学者，如惠更斯、帕斯卡、费尔马等人，对这类赌注问题进行了许多研究，有的出版了著作，如惠更斯的一本著作曾长期在欧洲作为概率论的教科书，这些研究使原始的概率和有关概念得到发展和深化.不过，在这个概率论的草创阶段，最重要的里程碑是伯努利的著作《推测术》.

概率论虽发端于赌博，但很快在现实生活中找到多方面的应用，首先是在人口、保险精算等方面，在其发展过程中出现了若干里程碑的《机遇的原理》，其第3 版发表于1756 年，法国大数学家拉普拉斯的《分析概率论》，发表于1812 年，1933 年苏联教学家柯尔莫哥洛夫完成了概率论的公理体系，在几条简洁的公理之下，发展出概率论整座的宏伟建筑，有如在欧几里得公理体系之下发展出整部几何.自那以来，概率论成长为现代数学的一个重要分支，使用了许多深刻和抽象的数学理论，在其影响下，数理统计的理论也日益向深化的方向发展.

二维码1.3　分赌注问题

二维码1.4　证据链问题