在实际问题的研究中，如果事件A 发生的可能性不受事件B 发生与否的影响，我们认为在概率意义下事件A 对于事件B 是没有关系的，即事件A 独立于事件B.显然，若A 对于B 独立，则B 对于A 也一定独立，即事件A 与事件B 相互独立.

定义1.7　若事件A 与B 满足P（AB）=P（A）P（B），则称事件A 与B 相互独立.

注　A，B 相互独立与A，B 互不相容不能同时成立.

定理1.4　若事件A 与B 独立，则下列各对事件

也相互独立.

同理可推得与B、与 也相互独立.

定理1.5　若事件A 与B 相互独立，且0 <P（A） <1，则

定理的正确性由乘法公式、相互独立性定义容易推出.

在实际应用中，还经常遇到多个事件之间的相互独立问题，例如：对三个事件的独立性可做如下定义.

定义1.8　若事件A，B，C 满足

则称事件A，B，C 为相互独立事件.

一般当事件A，B，C 两两独立时，等式

不一定成立.

例1.27（伯恩斯坦反例1）　一个均匀的正四面体，其第一面染成红色，第二面染成白色，第三面染成蓝色，而第四面同时染上红、白、蓝3 种颜色.现以A，B，C 分别记一次正四面体出现红、白、蓝颜色朝下的事件.问事件A，B，C 两两独立吗？

解　由于在四面体中红、白、蓝分别出现两面，因此

又由题意知

故有

所以，事件A，B，C 两两独立.

又

所以

事件A，B，C 两两独立但不是相互独立.(www.daowen.com)

类似的我们可以定义n 个事件的独立性.

定义1.9　设A1，A2，…，An 为n（n>2）个事件，若对其任何组合1≤i<j<…≤n，成立

则称A1，A2，…，An 相互独立.

由上述定义，不难推出以下事实：

①如果事件A1，A2，…，An 相互独立，则它们的任意一部分事件换成各自的对立事件后，所得的n 个事件仍相互独立.

②若事件A1，A2，…，An 相互独立，则其中任意k（1 <k≤n）个事件也相互独立.

推论1　若A1，A2，…，An 是n 个相互独立的事件，则

在实际应用中，对于事件的独立性，我们往往不是根据定义来判断，而是根据实际意义来加以判断.

例1.28　甲，乙，丙3 部机床独立工作，由一个工人照管，某段时间内它们不需要工人照管的概率分别为0.9，0.8 及0.85.求在这段时间内有机床需要工人照管的概率.

解　用事件A，B，C 分别表示在这段时间内机床甲，乙，丙不需工人照管.依题意A，B，C相互独立，并且

P（A）=0.9，P（B）=0.8，P（C）=0.85，则这段时间内有机床需要工人照管的概率为

例1.29　俗话说：三个臭皮匠赛过诸葛亮.这句话是否有依据？为了解决这个问题，我们让两个队伍进行解题比赛.

诸葛亮：依我的经验，我解出的把握有80%.

臭皮匠老二：老大，你的把握有50%，我只有45%，看来这奖品与咱们无缘了.

臭皮匠老大：二弟别急，咱去把老三叫来，我就不信合咱三人之力，胜不过诸葛亮？

问题：假如臭皮匠老三解出的把握只有40%，那么这三个臭皮匠有一人解出的把握真能胜过诸葛亮吗？

已知诸葛亮解出问题的概率为0.8，臭皮匠老大解出问题的概率为0.5，老二为0.45，老三为0.4，且每个人必须独立解题，问三个臭皮匠能赛一个诸葛亮吗？

解　设事件B={问题被解出}，Ai={第j 个臭皮匠解出问题}，i=1，2，3，

由题意可知

所以，三个臭皮匠能赛一个诸葛亮.