在建筑工地上，经常可以看到吊车把搅拌好的水泥提升到楼顶的情况，如图4-1所示。看到这种情景，你是否考虑过：将水泥匀速吊起和把水泥静止地悬吊在空中，吊车钢缆对水泥的拉力是否相同？这两种情形有什么区别呢？为了解释这样的问题，我们先来学习功的概念。

图4-1 工地上的塔式吊车

一、功

1.功的概念

在初中我们已经学习过有关功的初步知识。当时功是这样定义的：一个物体受到了力的作用，并在力的方向上发生了一段位移，我们就说这个力对物体做了功。换句话说：把物体所受的力与物体在力方向上发生的位移的乘积叫做功。例如，人拉车前进，车在人拉力的方向上发生了位移，力与力方向上位移的乘积就不为零了，我们就说人的拉力对车做功了。

物体既没受力也没位移，当然谈不上力对物体做功；物体虽然受到了力的作用，但没发生位移，力还是不做功，例如，人推一辆停着的车，如果车没被推动，人的推力对车就没有做功；如果物体受到了力的作用，也发生了位移，但力的方向上没位移，力对物体还是不做功，例如，一辆在水平路面上行驶的汽车，重力和支持力就对它没有做功，因为汽车在重力和支持力的方向上没有发生位移；如果物体发生了位移而没受力，当然也谈不上力对物体做功，例如，关闭了发动机的汽车，由于惯性而运动，因为没有牵引力作用，也就无从谈起牵引力做功。由此可见，力和物体在力方向上发生的位移是做功的两个不可缺少的因素。

2.功的计算

如果物体在恒力F作用下，沿着恒力F的方向发生了位移s，如图4-2所示：按照功的定义，力对物体做的功为W=Fs。

图4-2 功的计算1

图4-3 功的计算2

在实际生产和生活中，物体的位移方向并不总是跟作用在物体上的力的方向相同，当作用在物体上的力F与物体的位移s成一定的夹角a时，如图4-3所示，怎样来计算这个力做的功呢？这种情况下，把力F分解成如图4-3所示的两个互相垂直的分力F1和F2，F1与位移方向一致，F2与位移方向垂直，不做功。所以力F对物体所做的功为：W=F1s，因F1=F cosα，所以，一般情况下，功的计算公式为

式中α是力的方向和位移方向之间的夹角。

上式表明：恒力对物体所做的功，等于力的大小、位移的大小、力和位移夹角的余弦三者的乘积。

功是标量，只有大小没有方向。

在SI中，功的单位是焦耳，符号为J。由功的计算公式得到

明确了功的概念就可以回答节首提出的问题了。吊车匀速吊起水泥时，对水泥做了功，所以此过程要消耗电能；当吊车把水泥静止悬吊在空中时，虽然钢缆拉力相同，但对水泥没做功，因此不消耗电能。

例题1 一位质量为50kg的滑雪爱好者，从长为60m，倾角为30°的斜坡顶端滑下，求重力对她所做的功。

图4-4 滑雪爱好者受力图

分析 用公式（4-1）求功的关键是弄清哪个角度是做功的力与位移的夹角，即公式中的α是哪个角。滑雪者受三个力：重力mg，方向竖直向下；斜坡的支持力FN，方向垂直于斜坡向上；滑动摩檫力Ff，方向沿斜坡向上。由于滑雪者的位移方向沿斜坡向下，所以公式（4-1）中的α是图4-4中的β。

解 已知：m=50kg，s=60m，α=30°

求：WG

由公式W=Fs cosα得

答：重力对滑雪爱好者做了1500J的功。

二、正功和负功

根据功的计算公式W=Fs cosα，功的大小不仅与力和位移的大小有关，还与力和位移间的夹角有关，下面我们讨论夹角α在不同范围内，力对物体做功的情况。

1.当0≤α＜90°时，W＞0，如图4-2和图4-3所示，力F对物体做正功，这时力是（帮助）物体运动的动力。

2.当α=90°时，W=0，如图4-5所示，力F对物体不做功（或说做零功），因为力的方向和位移方向垂直，所以力对物体的速度大小没有影响。

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图4-5 夹角α=90°

图4-6 夹角90°＜α≤180°

3.当90°＜α≤180°时，W＜0，如图4-6所示，力F对物体做负功，这时力是阻碍物体运动的阻力。

我们可以这样来理解正功、负功和零功：一个力帮助物体运动了一段位移，由于这个力对物体的运动作出了贡献，所以我们就给它记“功”——记正功；如果力在一段位移上阻碍了物体运动，这就给物体运动“帮了倒忙”，我们就给它记“过”——记负功；如果力对物体的运动既没有帮忙，也没有阻碍，这种“白费力”就不给它记功——“功为零”。我们就是用这种方法来评价力对物体运动状态的影响的。

力对物体做负功时，物体要前进就必须“克服阻力做功”。例如，摩擦力阻碍物体运动做负功时，物理上往往说物体克服摩擦阻力做（正）功；物体竖直上抛时，重力做负功，也可以说成物体克服重力做（正）功。

三、合力做功

若作用在物体上的不是一个力，而是几个力，表达式W=Fs cosα中的F是合力，α是合力方向与位移方向间的夹角，W就是合力所做的功。

可以证明，合力做的功等于各分力做功的代数和。

例题 一个质量为150kg的物体，受到与水平方向成37°角，斜向右上方的拉力500N，在水平地面上移动的距离为5m，物体与地面间的滑动摩檫力为100N，求合力对物体所做的功。

分析 求合力对物体做的功，应把握住两点：第一是物体受了几个力，即物体的受力分析；第二是每个力与位移的夹角是多少。

图4-7 物体的受力图

此题目中物体受：重力G，竖直向下；支持力FN，竖直向上；滑动摩檫力Ff，水平向左；拉力F，与水平方向成37°斜向右上方。如图4-7所示。

求合力对物体做的功，有两种方法：一种是先求出合力，再由（4-1）式求出合力的功；另一种是先求出各力做的功，再由“合力做的功等于各分力做功的代数和”求出合力的功。在这里我们用第二种方法求解，第一种解法留给同学们自己完成。

解 已知：m=150kg，F=500N，Ff=100N，α=37°，s=5m

求：W合

由功的计算公式（4-1）得支持力和重力做的功为

拉力做的功为：

滑动摩檫力做的功：

∴合力做的功：

答：合力对物体所做的功为500J。

习题4-1

1.做功的两个不可缺少的因素是什么？正功、负功的含义是什么？

2.在煤矿的斜井里，用卷扬机把装满煤炭的矿车沿斜井的轨道从井底拉上来（题图4-1）。试分析有哪些力作用在矿车上，这些力有没有对矿车做功？是正功还是负功？

3.一汽车发生故障，由另一汽车拖挂着沿平直公路匀速前进。若牵引力为2×104 N，牵引绳与路面平行，求前进150m牵引力做的功和摩擦力做的功。

4.一位质量为60kg的滑雪运动员，从10m高的斜坡顶端自由下滑。如果运动员在下滑的过程中受到的阻力为50N，斜坡的倾角为30°，运动员滑至坡底的过程中，所受的几个力做的功各是多少？合力做的功是多少？

题图4-1 斜井里的矿车