对于有明显时间趋势数据的稳健线性性检验，可以选择的统计量有Wd（AWd）或者Wt（AWt）统计量，因此将在这两个统计量的基础上构建稳健统计量。与上述无明显时间趋势数据的稳健线性性检验不同，这两个统计量的检验回归式不同，但却有相同的极限分布，都是χ2分布。

首先考虑误差项不存在序列相关性的STAR（1）模型。如前所述，如果STAR模型的时间趋势性源自局部区制的随机趋势，那么线性性检验的回归式应采用差分形式，即如下形式：

在原假设H0：β2=β3=β4=0下，实际的数据生成过程是随机趋势过程，或者可以说STAR（1）模型的下区制（或者中间区制）是随机趋势过程，则正确地检验统计量应为Wd。

如果STAR模型的时间趋势性源自确定性趋势，那么线性性检验应采用对数据退势后的回归式，即

式中，，在原假设H0：下，相应的检验统计量为Wt。

由于事先不知道数据的时间趋势性是源于随机趋势还有源于确定性趋势，所以单独使用以上任何一个统计量进行线性性检验都可能犯错误——错误差分或者错误退势，都可能使线性性检验完全失效。因此，目标是寻找一个稳健统计量，不考虑数据时间趋势的具体来源，或者说，无论时间趋势源自随机趋势还是源自确定性趋势，这个统计量都应该有较好的检验效果。

迄今为止，尚未发现已有文献讨论过这个问题。但Harvey等（2008）在研究上述无明显时间趋势STAR模型的线性性检验时，提出了一种构造稳健统计量的方法，该方法的应用条件是：有两个不同的检验回归式以及两个不同的检验统计量，但这两个检验统计量的极限分布是相同的。式（3.45）与式（3.46）及相应的检验统计量完全符合这个条件，所以，将采用他们的思想来构建稳健统计量。该方法的核心思想是：取两个统计量的加权平均作为稳健统计量，并寻找合适的权数使得稳健统计量的极限分布不变。下面阐述该思想在本书中的应用。

定义稳健统计量Wrt及加权系数ω，使得

式中，ω应该选择一个随机函数，使得：当yt的时间趋势性源于确定性时间趋势时，ω依概率收敛于0，因而Wrt渐近等价于Wt；当yt的时间趋势性源于随机趋势时，ω依概率收敛于1，因而Wrt渐近等价于Wd。这样，不管在哪种情况下，稳健统计量Wrt的极限分布没有改变，都是χ2分布，因此可采用χ2分布的临界值进行线性性检验。同时，式（3.47）的稳健表达式表明，无论yt的时间趋势源于何种模式，在渐近意义上，Wrt都等价于实际应该采用的正确检验统计量。

本书采用Harvey等（2007，2008）的做法，定义ω函数为

式中，g是一个正的常数，而S与D通常是单位根检验或平稳性检验的统计量，使得式（3.47）在任何情况下都收敛于χ2分布。Harvey等（2008）选择带有截距项的ADF统计量作为S，选择Harris等（2003）的非参数平稳性检验统计量作为D。而本书选择带有趋势项的ADF检验统计量作为S，选择带有趋势项的KPSS检验统计量作为D。

如果yt的时间趋势性源于确定性时间趋势，那么，ADF统计量发散，KPSS统计量是Op（1），所以根据式（3.48），ω依概率收敛于0；采用式（3.46）及原假设H0：进行线性性检验，Wt⇒χ2（3）；而由定理3.8可知，在原假设下，实际的数据是趋势平稳过程时，采用式（3.36）的检验式进行线性性检验，Wald统计量是以速度T退化的，同样，如果采用式（3.45）及原假设H0：β2=β3=β4=0进行线性性检验，Wd统计量也是以速度T退化的。因此，当yt的时间趋势性源于确定性时间趋势时，有

如果yt的时间趋势性源于随机趋势，那么ADF统计量是Op（1）变量，KPSS统计量发散，所以根据式（3.48），ω依概率收敛于1；采用式（3.45）及原假设H0：β2=β3=β4=0进行线性性检验，Wd⇒χ2（3）；而如果对随机趋势过程进行OLS退势，段鹏和张晓峒（2010）的研究表明，参数约束的t统计量服从维纳过程的泛函，由此表明，采用式（3.46）及原假设H0：进行线性性检验，Wt统计量是Op（1）变量。因此，当yt的时间趋势性源于随机趋势时，有(www.daowen.com)

综合式（3.49）及式（3.50），在原假设下，不论哪种情况，Wrt的极限分布均是χ2（3）。

但需要指出的是，当yt的时间趋势性源于随机趋势时，Wrt渐近等价于Wd，尽管其极限分布是χ2（3），但在小样本下，Wd的分布比χ2（3）分布尾部更厚，前文已经对此进行了分析。因此，在小样本下，如果使用χ2（3）的检验临界值进行线性性检验，会导致一定程度的水平扭曲。为避免检验水平扭曲现象，在样本容量小于2 000时，采用χ2（3）分布临界值与Wd分布临界值的平均数作为Wrt统计量的检验临界值。

在备择假设下，Wd与Wt都发散，而Wrt是Wd与Wt的加权平均，所以Wrt也发散，因此，Wrt是一致检验统计量。

g值不影响Wrt的极限分布，但在有限样本下，它控制着Wrt在Wd与Wt之间的转换。本书在T=100及T=500两个样本容量下，通过格点搜索以及Monte Carlo模拟方法，分别模拟在随机趋势与确定性趋势下，Wrt的实际检验水平，模拟结果显示，当g=0.001时，实际检验水平最接近名义检验水平，因此，在有限样本下确定g值为0.001。

在更一般的STAR（p）及误差存在序列相关情况下，定义稳健统计量为AWrt，其计算式为AWd与AWt的加权平均：

ω表示与式（3.48）相同的随机函数，但g值却有所不同。AWt与AWd所对应的检验回归式及原假设与前文所述相同。

如果yt的时间趋势性源于确定性时间趋势，那么ADF统计量为Op（T12），KPSS统计量是Op（1），对式（3.48）进行泰勒展开可得

可见，ω是以任意快的速度收敛于0的。因此，在这种情况下，即使AWd是发散的，ωAWd仍是依概率收敛于0的，而AWt⇒χ2（6），所以，AWrt⇒χ2（6）。

与上述式（3.50）所讨论的原理相同，如果yt的时间趋势性源于随机趋势，在原假设下，AWrt⇒χ2（6）。

因此，无论数据的时间趋势性源于随机趋势还是源于确定性趋势，都有AWrt⇒χ2（6），并且在备择假设下，AWrt是一致检验统计量。

与Wrt统计量类似，在小样本下，AWd的分布比χ2（6）分布尾部更厚，因此，在小样本下，如果使用χ2（6）的检验临界值进行线性性检验，会导致一定程度的水平扭曲。为避免这种情况，采用小样本下AWd的检验临界值与χ2（6）检验临界值的平均数作为AWrt的检验临界值。

使用上述同样的方法确定g值的最优取值，经过10 000次Monte Carlo模拟显示，当g=0.1时，实际检验水平最接近名义检验水平，因此，本书在使用AWrt统计量进行线性性检验时，g值取0.1。