对于没有明显时间趋势数据的线性性检验，可供选择的统计量有W0（W ′0），Wnd（AWnd）以及W1（AW1），实际上也可以选择Wd（AWd），但采用这个统计量要求先对数据进行差分，因而，其检验回归式与前三个统计量有所不同，而前三个统计量具有相同的检验回归式。所以，将在这三个统计量的基础上构建稳健统计量，用于无明显时间趋势数据的线性性检验。

回顾上文所述的检验回归式：

原假设H0：β2=β3=β4=0，由于没有约束β0和β1，所以在原假设下yt的数据生成过程是未定的，可能是I（0）过程、随机游走过程或随机趋势过程。在这种情况下，定义一个Wald统计量WT，在原假设H0：β2=β3=β4=0及检验式（3.40）下，有以下三种可能：

目标是构建一个新的统计量能融合以上这三种情况，即在原假设下不论ty是什么数据生成过程，都使用同一个检验回归式以及相同的检验临界值，并使得这个统计量在三种情况下都能有较好的检验效果。已有文献中，Harvey和Leybourne（2007）对此进行了尝试，他们采用Vogelsang（1998）的方法构建了一个修正统计量，本书采用类似的方法，下面简述该方法的核心思想。

假设HT表示一个用以检验原假设下ty是I（0）还是I（1）的统计量，在ty是I（1）情况下，该统计量的极限分布是H，而在ty是I（0）情况下，该统计量依概率收敛于0。定义稳健统计量Wrn，其计算式为

在原假设下，如果yt是I（0）过程，则WT=W0，并且HT依概率收敛于0，所以Wrn⇒W0～χ2（3）；在原假设下，如果yt是随机游走过程，则WT=Wnd，因为HT存在极限分布H，所以此时Wrn⇒exp（-λH ）Wnd；在原假设下，如果yt是随机趋势过程，则WT=W1，此时Wrn⇒exp（-λH ）W1。如果找到了一个合适的λ 使得式（3.42）成立，即

那么，在检验水平α下，检验统计量Wrn可以使用χ2（3）分布的临界值cα，而无须考虑在原假设下ty的实际数据生成过程是I（0）还是I（1）。这样，就实现了构建一个稳健统计量以融合以上三种情况的目标。但关键的问题是：如何选择检验统计量HT以及合适的λ ？

Harvey和Leybourne（2007）采用作为HT，DTF是最常用的DF单位根检验统计量。在原假设下，如果ty是I（1）过程，DTF收敛于维纳过程的泛函；如果ty是I（0）过程，DTF统计量则发散，因此依概率收敛于0，这表明符合HT的要求。本书同样选择作为HT。(www.daowen.com)

对于λ 值的确定，Harvey和Leybourne（2007）认为λ 值依赖于检验水平α，所以采用Monte Carlo模拟方法模拟出一些检验水平所对应的λ 值，然后通过回归方法估计出λ 值关于检验水平α及其多项式的响应面函数，以此来确定特定检验水平下的λ 值。Harvey和Leybourne（2007）的方法只适用于两种统计量的情况，而本书是三种统计量，用估计响应面的方法不可能同时兼顾W1与Wnd。本书采用非参数方法来获得合适的λ 值。考虑到在有限样本下，式（3.42）所体现的本质思想实际上把两个非χ2分布的统计量“扭曲”成为χ2分布，而λ 的作用是控制“扭曲”程度，因此，可以采用核密度估计方法估计出exp（-λHT）Wnd与exp（-λHT）W1的概率密度，并选择这两个分布都比较接近χ2分布时的λ 值作为最终的λ 值。基于此种想法，本书分别考虑样本容量T={100，200，500，1 000}，λ ={0.05，0.10，…，0.50}的不同情况，在每个样本容量及不同的λ 值下，Monte Carlo模拟10 000次以估计概率密度。模拟结果显示，在几种样本容量下，最合适的λ 值都是0.25，这也表明，样本容量对λ 值的确定影响不大。

此外，根据式（3.41）可知，Wrn=exp（-λHT）WT=Op（1）WT，而WT在三种情况下都是一致检验统计量，所以在备择假设下，Wrn是一致检验统计量。

在更一般的STAR（ p） 及误差存在序列相关情况下，检验式变为

原假设H0：β2=β3=β4=β5=β6=β7=0，定义AWT，同样存在三种可能：

构建稳健统计量AWrn，其计算式为

此时采用作为HT，按照上述同样的方法确定最合适的λ 值为0.15。同样，在备择假设下，AWrn是一致检验统计量。