平稳性与遍历性是时间序列理论中非常重要的概念。对于一个随机过程，如果随机变量的任意子集的联合分布函数与时间无关，则称其为强平稳过程；如果仅是m阶以下的矩的取值全部与时间无关，则称该过程为m阶平稳过程。在应用中，通常我们只考虑二阶平稳（协方差平稳）过程，相应地，称之为弱平稳过程。对于时间序列的遍历性，Greene（2002）认为是“非常微妙和困难的概念”（much more subtle and difficult concept），尽管有很多表述方法，但“没有哪个特别符合直觉”，他引用Davidson和Mackinnon（1993）的定义：

给定一个时间序列zt，如果对于任意两个映射f：Ra→R1，g：Rb→R1，都有

那么，这个过程就是遍历的。这个定义从本质上表明，如果事件在时间维度上隔得足够远，那么它们就是渐近独立的。只有时间序列具备遍历性特征，参数估计以及相关的假设检验才有意义。但是，求解一个时间序列具有遍历性的充分必要条件却是相当困难的事情，因此，在大多数情况下，遍历性都将是一个给定的条件。

已有文献对于STAR序列的平稳遍历性的讨论并不多见。Chan和Tong（1986）考虑一个STAR模型^[2]：

式中，et为独立同分布序列，其均值为0且具有有限二阶矩，并且独立于xt-d，p≥1，d≥1；F（·）为标准正态分布的分布函数；xt-d为转移变量；r表示门限值；z是一个实参数，其值的大小决定着转移函数的平滑程度。

Chan和Tong（1986）给出了一阶STAR序列遍历性的充分和几乎必要条件（almost necessary condition），即当p=1，d=1时，式（2.10）具有遍历性的充分几乎必要条件为：a1＜1，a1+b1＜1，a1（a1+b1）＜1。或者满足如下条件：

式（2.10）表示的p阶STAR模型具有平稳性，当然他们承认这仅是一个很强的充分条件^[3]。

Nur（1998）同样研究了一阶STAR序列遍历性问题，他将式（2.10）的F（·）函数扩展为任意分布的分布函数，并且给出了如下几种情况下遍历性的充分条件或必要条件。

（1）如果p=1，d=1，且式（2.10）所表示的STAR序列是遍历的，则有a1≤1，a1+b1≤1，a1（a1+b1）≤1，b1≠0。(www.daowen.com)

（2）如果F（·）是薄尾分布的分布函数，即当x→∞，x（1-F（x））→0，以及当x→-∞，xF（x）→0时，一阶STAR模型遍历的充分条件为：a1＜1，a1+b1＜1，a1（a1+b1）＜1，满足这个条件的分布有正态分布、Laplace分布、Gamma分布、对数正态分布、Beta分布、指数分布、F分布、t分布等；对于一些特殊的薄尾分布，如果满足x ＞k1，0＜k1＜∞，x[1-F（x）]=0，以及x＜-k1，xF（x）=0，此时的充分条件同样也是必要条件。

（3）如果F（·）是厚尾分布的分布函数，即当x→∞，x[1-F（x）]→k1，k1＞0，以及当x→-∞，xF（x）→k2，k2＜0，k1与k2既可以是有限值也可以无穷时，一阶STAR模型遍历的充分条件为：a1≤1，a1+b1≤1，a1（a1+b1）＜1，满足这个条件的分布有Cauchy分布和Pareto分布。

（4）如果F（·）是左尾厚右尾薄的分布的分布函数，则一阶STAR模型遍历的充分条件为：a1≤1，a1+b1＜1，a1（a1+b1）＜1；如果F（·）是左尾薄右尾厚的分布的分布函数，则遍历性的充分条件为：a1＜1，a1+b1≤1，a1（a1+b1）＜1。

此外，Chen和Tsay（1993）提出了函数系数自回归模型（functional-coefficient autoregressive models，FAR）：

假设系数函数fi（·）有界，≤ci，并且εt的密度函数在实数域内处处为正，如果特征多项式λp-c1λp-1-…-cp=0的根都在单位圆内，则FAR过程具有几何遍历性。

考虑到STAR模型是FAR模型的一个特例，并且平滑转移函数有界（小于等于1），误差项tε的密度函数在实数域内处处为正，因此，根据式（2.1）或式（2.2）中两区制自回归系数的和，我们可以构建特征多项式，进而求出遍历性的充分条件解。但这种做法实际上是让STAR模型退化为线性AR模型，其条件过强，同时也是不必要的。

对于STAR模型的平稳性与遍历性，已有文献仅就一阶STAR模型且转移变量为一阶滞后项的情况做了较为完备的讨论，而在更为一般条件下，STAR模型的平稳性与遍历性条件仍在探讨之中。本书下面的讨论中，如未作特殊说明，所有时间序列均假定为平稳遍历过程。