经济理论提供了一些非线性模型，但Teräsvirta等（2010）指出，仍有许多非线性模型来源于统计学、时间序列和计量经济学中，这些模型大多是从数据分析角度形成的，而与特定的经济理论并无直接的联系。在实证研究中，人们越来越发现采用线性模型分析经济问题的局限性，无论从解释性还是从预测性的角度上看，线性建模都不能充分刻画实际数据生成过程，这也成为非线性建模技术发展的直接动因。在时间序列应用研究中，最常用的有四类模型：门限自回归模型（TAR）、平滑转移模型（STAR或者STR）、马尔可夫区制转换模型（MRS）、人工神经网络模型（ANN）。近年来，我国学者逐渐认识到我国经济运行中的非线性特性，较多地采用上述这些非线性模型实证分析了我国经济问题，这些研究为本书提供了实证背景。下面简要介绍TAR模型、MRS模型与ANN模型及其在我国经济分析中的应用，STAR模型将在第2章中做详细介绍。

1.TAR模型及其应用

Tong（1990）系统介绍了TAR模型，以单变量序列两区制TAR模型为例，其模型设定形式如下：

式中，zt=（1，yt-1，…，yt-p）′，φi=（φ0i，φ1i，…，φpi）′，i =1，2，且φ1≠φ2；I（A）表示指示函数，当A发生时I（A）=1，否则I（A）=0；st表示转换变量，当st=yt-d，d ＞0时，式（1.2）称为自我激励的门限自回归模型（self-exciting TAR，SETAR），简称TAR模型；当st=Δyt-d，d ＞0时，式（1.2）称为冲量门限自回归模型（momentum-TAR，MTAR），该模型由Enders和Granger（1998）提出，可用于增长率序列的动态调整分析；c1称为门限值或者阈值；εit～iid（0，），i =1，2。TAR模型的参数估计及其统计特性可参见Chan（1993）、Hansen（2000）。

式（1.2）可以扩展到更一般的具有多个门限值的TAR模型。Tsay（1998）将单变量TAR模型扩展到向量TAR模型，Balke和Fomby（1997）、Lo和Zivot（2001）将其扩展到门限协整与门限误差修正模型。

近年来，国内学者采用TAR模型研究我国经济问题的文献主要有：曾令华等（2010）对我国股票市场泡沫进行了检验，结果表明我国股票市场存在周期性破灭的泡沫；丁剑平和谌卫学（2010）采用含有单位根的TAR模型研究了包括中国在内的6个亚洲新兴市场国家货币兑换美元的实际汇率，结果表明人民币兑换美元的实际汇率不具有均值回复趋势；张屹山和张代强（2008）采用含有单位根的TAR模型实证分析了我国通货膨胀率的动态波动路径，结果表明在减速通胀状态下，通胀率是平稳自回归过程，而在加速通胀状态下，通胀率是一个具有单位根的自回归过程；靳晓婷等（2008）采用TAR模型分析了汇率制度改革以来人民币对美元的名义汇率波动，结果表明人民币名义汇率波动也存在明显的非线性门限特征；孟庆斌等（2008）采用TAR模型检验了我国股票市场泡沫情况，结果表明我国股票市场泡沫主要集中在1999年和2007年两个年份。

2.MRS模型及其应用

与TAR模型不同的是，MRS模型的状态转换变量是不可观测的，我们以θt表示该转换变量，并且假定其服从一个有限状态r的马氏链过程，在经济学应用中，通常假设为一阶马氏链过程，r个不同的状态可由一个集合{ν1，ν2，…，νr}表示，其转换概率可表示为

MRS模型的设定形式为(www.daowen.com)

式中，εjt与θt独立，并通常假定εjt为独立同分布过程且方差为常数。在单变量情况下，即wt=zt时，Tyssedal和Tjøstheim（1988）称式（1.4）为突变自回归模型（SCAR模型）。在经济应用中，通常r=2或者3，超过三个状态的MRS模型很少见，r值通常是由研究者主观设定的。

在经济应用中，最常用到的是由Hamilton（1989）提出的MRS模型，其表达形式为

式中，μ（νi）≠μ（νj）。从式（1.5）可以看出，自回归系数保持不变，而截距项却具有状态转移特征，可以形成rp+1个不同的截距值，从而使模型变得更加灵活。同样，单变量的MRS模型可以扩展到向量MRS模型，Krolzig（1997）对此进行了较为详细的阐述。Hamilton（2016）对MRS模型的发展历程及其在宏观经济中的应用做了很好的综述。此外，Elliottt等（2018）将MRS模型与STAR模型结合起来，构建了HMRS-STAR模型，并将其应用在金融数据分析中。

应用MRS模型分析我国经济问题的文献主要集中在股票市场泡沫的检验、通货膨胀率波动、经济周期波动等几个领域。周爱民等（2010），赵鹏和曾剑云（2008），孟庆斌等（2008）分别采用MRS模型检验了我国股票市场的泡沫情况，结果表明，我国股市在不同时期存在不同程度的周期性泡沫特征。李晓峰等（2010）采用MRS模型研究了世界经济周期演化对中国经济的非对称性影响；刘金全等（2009）基于MRS模型识别分析了我国经济周期波动的特征及其阶段性变迁的可能性；王建军（2007）引入反映我国经济增长模式改变的虚拟变量，对传统的MRS进行了改进，在此基础上研究了我国实际产出增长的周期性变化。刘金全等（2009）采用三状态的MRS模型分析了我国通胀率的时间动态轨迹，赵留彦等（2005）采用MRS模型分析了通胀率水平及其不确定性间的关系，龙如银等（2005）采用MRS模型模拟分析了我国1984年以来通胀率的动态路径。此外，金晓彤和闫超（2010）采用MRS模型分析了我国消费需求增速的动态过程；王立勇和高伟（2009）采用MRS模型检验了我国财政政策的非线性效应；苏涛等（2007），赵鹏和唐齐鸣（2008）将MRS模型引入经典的资产定价模型，进而研究不同波动状态下的资产定价问题。

3.ANN模型及其应用

ANN模型越来越受到人们的关注，因为它为解决大复杂度问题提供了一种相对来说比较有效的简单方法。该模型适用于有众多输入变量，但却无法获悉每个变量对输出的独立影响的领域，如图像分类和声音识别等。近年来，经济学家们开始尝试将其应用到经济领域，Kuan和White（1994）从计量经济学的角度对ANN模型进行了系统阐述。一个简单的ANN模型可由如下形式表示：

式中，yt为输出序列，wt=（1，yt-1，…，yt-p，x1t，…，xkt）′表示输入变量，表示线性部分；β=（β00，β01，…，β0，p+k）′，βj（j=1，2，…，q）为参数，在人工神经网络的文献中被称为“连接力量”（connection strengths）；G（·）表示一个单调递增且有界的函数，通常为logistic函数，γj（j=1，2，…，q）为参数向量。在式（1.6）中，输入层与输出层yt均是可以观测到的，而另外一项线性组合则不可观测，因而构成了ANN模型中的隐含层。当wt=zt时，式（1.6）变成单变量的ANN模型，称为自回归ANN模型，可以看出，此时的ANN模型与一般自回归模型的区别仅在于截距项，自回归ANN模型的截距项具有时变特征。

近年来，国内学者开始应用ANN模型对经济序列进行预测及对财务风险进行判别分析。孙柏和谢赤（2009）采用ANN模型预测了在金融危机背景下人民币汇率的走势；谢赤和欧阳亮（2008）采用三种ANN模型预测分析了人民币汇率，并对三种模型预测结果进行了比较分析；庞晓波等（2008）采用ANN模型对人民币汇率进行预测，结果表明ANN模型的预测精度要好于EGARCH（指数广义自回归条件异方差）模型；苏治等（2008）采用ANN模型及STAR模型分析了我国证券价格的非线性波动特性并检验了其可预测性，结果表明在中短期内，我国证券价格具有一定程度的可预测性，并且ANN模型的预测能力要强于线性AR模型（自回归模型）及STAR模型；王志刚等（2009）采用ANN模型分析了我国股票市场的技术分析方法的非线性预测能力，结果表明技术分析方法能捕捉到不同类型投资者之间非线性的相互作用关系，从而使其具有非线性预测能力；王志刚等（2007）采用ANN模型分析了我国股票市场收益率波动过程中的非线性特征。陈秋玲等（2009）在ANN模型基础上建立了金融风险预警模型，并对1993—2007年我国金融风险进行了检验和预测；吴应宇等（2008）也采用ANN模型对我国上市公司2005年、2006年的财务状态进行了实证分析。