18.2.1　基本习题讲解

例18.1　求由参数方程x=acos3t，y=asin3t（0≤t≤2π）所表示的星形线围成的图形的面积.

解　易知所求面积在第一象限面积内为它的四分之一，即

解　利用极坐标曲线围成的图形的面积的公式，得到

例18.3　求心形线r=a（1+cosθ）的长度.

解　由对称性可知

例18.4　求y2=2px（0≤x≤x0）绕x轴旋转所得旋转体的侧面积.

解 直接利用旋转曲面的计算公式，得

求f（x）.

解　令u=t−x，则

18.2.2　拓展习题讲解

例18.6　求由四条曲线y=x2，y=2x2，xy=1，xy=2所围成的图形的面积.

解　如图18-1，曲线y=2x2与xy=1的交点为曲线xy=2与y=x2的交点坐标为xy=1与y=x2的交点坐标为（1，1），xy=2与y=2x2的交点坐标为（1，2），于是四条曲线所围成的图形的面积为(www.daowen.com)

图18-1例18.6的图形

例18.7　过坐标原点作曲线y=lnx的切线，该切线与曲线y=lnx及x轴围成平面图形D.

（1）求D的面积A；（2）求D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积V.

解（1）设切点的横坐标为x0，则曲线y=lnx在点（x0，lnx0）处的切线方程是

由于该切线过原点知lnx0−1=0，从而x0=e，所以切线方程为

解　用定积分表示旋转体的体积和侧面积，二者及底面积都是t的函数，然后计算它们之间的关系.

（1）利用公式，得

例18.9　将心形线ρ=a（1+cosθ）绕极轴旋转，求旋转生成的曲面面积.

解　由极坐标形式曲线的弧长公式，得

该旋转面面积