1.定积分的极限定义.

对于任意小的正数ε＞0，总存在一个正数δ，使得对于区间的任意分法

只要各个小区间长度|∆xi|＜δ（∆xi=xi−xi−1），不论ξi如何选取，都有

成立.数I就是定积分.从该定义可以看出：

（1）定积分是和的极限，但是该极限不同于前面的数列的极限或者函数的极限（其自变量简单的是n或者x），此处是对于区间I的任意剖分，不论ξi如何选取，当剖分的小区间长度趋于零时的极限，且极限值是不变的.

（2）定积分的几何意义是由被积函数f（x）所表示的曲线和坐标轴围成的面积.该面积为用小矩形的面积（长为f（ξi），宽为∆xi）之和近似时，区间长度|∆xi|趋于零时的极限.

（3）既然定积分的值不依赖于区间的分法和ξi的选取，因此可以将数列的极限构造成的形式，用定积分来求其值，也即此时数列的极限是一种特殊的区间分法和特殊的ξi的选取下的前n项和的极限.

有如下的结论，若函数f（x）在区间[a，b]上连续，则

解　由定积分的极限定义形式，得

注　到现在为止，求数列的极限的方法又多了一个，就是利用定积分来求数列的极限，但是此方法只适用于求数列的前n项和的极限.

2.两个可积准则和三类可积函数.

（1）f（x）在区间[a，b]可积，充分必要条件为(www.daowen.com)

（2）f（x）在区间[a，b]可积，充分必要条件为

（3）三类可积函数是：闭区间上的连续函数，分段连续函数，或者闭区间上的单调有界函数.

3.定积分的主要性质.

（1）可积函数在其积分区域上是有界的.（逆否命题：无界函数一定不可积.）

（2）定积分的运算是线性的.

（3）若函数f（x）在区间[a，b]可积，且对任意x∈[a，b]，有f（x）≥0（或者f（x）≤0），则有

例　设函数f（x）与g（x）在[0，1]上连续，且f（x）≤g（x），且对任何c∈（0，1），有（）.

（4）绝对可积性.若函数f（x）在区间[a，b]可积，则|f（x）|在区间[a，b]上也可积，且

（5）积分中值定理.设函数f（x）和g（x）都在区间[a，b]上连续，且g（x）在[a，b]上不变号，则在[a，b]上至少存在一点ξ，使得

例　设函数f（x）于[0，1]连续，在（0，1）内可导，且满足