13.2.1　基本习题讲解

例13.1　求双曲线的渐近线.

解　由于可以看出该函数没有垂直渐近线.下面求其斜渐近线.设斜渐近线为y=kx+c，则

所以双曲线的渐近线方程为

例13.2　铁路AB段的距离为100km，工厂C距离A为20km，AC垂直于AB（如图13-1），今要在AB间一点D向工厂修一条公路，使从原料供应站B运货到工厂所用运费最省，问D应该建设在何处（已知货运每一km铁路和公路运费之比为3：5）？

图13-1例13.2图形

解　设D修在距离B端xkm处，单位造价为k，则总运费用为

即求f（x）在上述条件下的最小值问题.由

得到x=85.又f（85）=380k，f（0）＞500k，f（100）=400k.所以函数的最小值在x=85km处.

例13.3　在宽为a米的河上修建一条宽为b米的运河，二者相交成直角（图13-2），问能驶进这条运河的船，其最大长度为多少？

图13-2例13.3图形

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13.2.2　拓展习题讲解

例13.4　求曲线的斜渐近线方程.

解　设斜渐近线方程为y=kx+b，则

例13.6　求曲线y=lnx上与直线x+y=1垂直的切线方程.

解　由于与直线x+y=1垂直的直线的斜率为k=1.y′=（lnx）′==1得到x=1，切点为（1，0），其切线方程为y=x−1.例13.7设曲线的极坐标方程为r=1+cosθ，求在其上对应于点处的切线的直角坐标方程.

解　由极坐标的定义

x=rcosθ=（1+cosθ）cosθ，y=rsinθ=（1+cosθ）sinθ，可得

因此切线方程为

例13.8　求出的增减区间与极值，凹凸区间与拐点，渐近线方程，并描绘函数图形.

所以y=x−2为曲线的斜渐近线，如图13-3.

图13-3例13.8的图形

极大值为拐点（0，0），单调性、极值及凸凹性分析如下表