1.利用一阶导数判断函数的单调性（增减性）.

设函数f（x）在[a，b]连续，在（a，b）可导，则f（x）在[a，b]单调上升（或单调下降）的充分必要条件是在（a，b）内f′（x）≥0（或者f′（x）≤0）.若严格不等号成立，则称为严格单调上升（或严格单调下降）.

一阶导数的符号确定了函数的单调性，因此可以构造函数，利用函数的单调性证明某些不等式.

当−δ＜x＜0时，

2.利用导数研究函数的极值和最值.

（1）极值的必要条件

设函数f（x）在x0点可导，且f（x）在x0点取得极值（极大值或者极小值），则x0为函数f（x）的驻点（f′（x0）=0）.

注　如果没有“f（x）在x0点可导”条件，本结论不真，应该改为“f（x）在x0点取得极值，则x0为函数f（x）的驻点或者不可导点”.

（2）取得极值的第一充分条件（第一判别法）

第一判别法是利用函数在驻点两侧一阶导数的符号变化情况，来确定函数的极值的类型.

设函数f（x）在x0点连续，在（x0−δ，x0）和（x0，x0+δ）内可导，则

•若在（x0−δ，x0）内f′（x）＜0，而在（x0，x0+δ）内f′（x）＞0，则x0

为极小点；

•若在（x0−δ，x0）内f′（x）＞0，而在（x0，x0+δ）内f′（x）＜0，则x0

为极大点；

•若在这两个区间内f′（x）不变号，则x0不是极值点.

（3）取得极值的第二充分条件（第二判别法）(www.daowen.com)

如果f′（x0）=0，而f′′（x0）≠0，则可以根据f′′（x0）的符号来判断极值的类型.

设f′（x0）=0，则

•若f′′（x0）＜0，则f（x0）取得极大值；

•若f′′（x0）＞0，则f（x0）取得极小值.

注　第二判别法的推广　设函数f（x）在x0有n阶导数，若f′（x0）=···=f（n−1）（x0）=0，f（n）（x0）≠0，则当n为偶数时，（1）f（n）（x0）＜0，f（x0）为极大值，（2）f（n）（x0）＞0，f（x0）为极小值；当n为奇数时，f（x0）不是极值.

（4）最大值和最小值的求法

设函数f（x）在[a，b]上连续，则函数f（x）在区间[a，b]上的最大值（最小值）是取极值和边界值中最大者（最小者），具体的步骤如下：

（i）求出f′（x），计算f（x）的驻点和不可导点；

（ii）计算出（i）中各个点的函数值和f（a），f（b）；

（iii）比较（ii）中的各个函数值的大小，最大者为最大值，最小者为最小值.

3.利用二阶导数求函数的凸凹性和拐点.

设f（x）在（a，b）内存在二阶导数f′′（x），则

•若f（x）在（a，b）内f′′（x）＜0，则f（x）在（a，b）为上凸；

•若f（x）在（a，b）内f′′（x）＞0，则f（x）在（a，b）为上凹.

曲线由上凸变为上凹或者由上凹变为上凸的点，称为拐点.从观察点的不同可知，上凸和下凹是一回事，上凹和下凸是一回事.