11.2.1　基本习题讲解

例11.2　应用Taylor公式按照x的乘幂展开函数

解　根据Taylor公式，有

即为f（x）=1−9x+30x2−45x3+30x4−9x5+x6.

注　多项式的Taylor展式是精确的.

例11.3　做函数f（x）=ln（x2−3x+2）在x=0点处的Taylor展开.

解　注意到f（x）的高阶导数容易得到，

例11.4　左右导数和导数的左右极限的关系问题.

在第七课中指出二者的关系命题：设f（x）于[x0，x0+δ]上连续，在（x0，x0+δ）内可导，如果f′（x0+0）存在，则（x0）存在，且

证明　由于

式中利用了Lagrange中值定理，其中θ∈（0，1）.由于f′（x0+0）存在，由定义，可知(www.daowen.com)

例11.5　已知f（x）为实轴上二阶连续可导的正值函数，f（0）=1.定义g（x）=（x≠0）.

（1）求g′（x）；

（2）当定义g（0）为何值时，g（x）成为连续函数？

（3）连续的g（x）是否连续可导？如果连续可导，求出g′（0）的值.

解（1）当x≠0时，利用对数求导法，易得

因为二阶导数f′′（x）在（−1，1）内连续且不为0，故f′′（x）在（−1，1）内不变号.假设f′′（x）＞0，从而f′（x）在（−1，1）内严格单增，所以上式中的θ（x）是唯一的.

（2）由（1），可得

注　此题也可以对式（11-1）的右端利用Maclaurin公式展开进行求极限.

例11.10　设函数f（x）为区间[a，a+2]上的函数，且|f（x）|≤1，|f′′（x）|≤1，证明|f′（x）|≤2，x∈[a，a+2].

证明　根据Taylor公式，