1.L’Hospital法则.

（1）求导法则和求导公式的基础是函数的变化率的极限，L’Hospital法则是利用导数这个工具，反作用于极限理论，尤其是求那些未定式函数的极限（型，型）.该法则证明的基础是中值定理.

（2）在利用L’Hospital法则求函数的极限时，应当注意两点：

（i）分子或者分母中如果出现某因式项的极限存在且不为零，一定要先求出该项的极限，使得分子或者分母的求导运算变得简单易行.

下一步不满足法则的条件，利用二阶导数的定义得到

（4）其他类型的不定型如∞−∞型，0·∞型，00型，1∞型，∞0型，都可以化为型或者型，进而利用L’Hospital法则求极限.

2.Taylor定理.

若函数f（x）在含有点x0的某开区间（a，b）内有直到n+1阶导数，则当x∈（a，b）时，有

（1）Taylor公式的出发点是用一个多项式函数来近似地表示一个复杂的函数，但是要求该复杂函数有高阶导数（很好的光滑性）.Taylor公式的基础也是微分中值定理.(www.daowen.com)

（2）当x0=0时，该公式为麦克劳林（Maclaurin）公式，是Taylor公式的特殊形式.

例　设函数f（x）在闭区间[a，b]上二次可微，并且试证存在ξ∈（a，b），使

证明　利用Taylor公式，

（3）利用Taylor公式将函数的一部分转换为等价无穷小代入再进行计算.利用该方法时应当注意的是展开式的最高阶次的问题，展开的最高阶次应当是所求极限的函数中，分子或者分母各项的主项的阶数.

其中ξ在0和x之间，θ∈（0，1）.

注　最后一个式子比较重要，常常用来求其他函数的Taylor展开式.

例　求函数arctanx在x=0点的Taylor展开式.

解　由于