A组

习题10.1　已知f（x）为[0，1]区间上的可微函数，f（0）=f（1）=0，且对任意的x∈[0，1]，都有|f′（x）|＜1.试证

习题10.2　设函数f（x）在闭区间[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且f（1）=0.试证存在ξ∈（0，1），使

习题10.3　设c＞0，函数在闭区间[a−c，a+c]上可导，试证：至少存在一点ξ∈（0，1），使

习题10.4　设函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内二阶可导，且

试证存在ξ∈（a，b），使f′′（ξ）＞0.

B组

习题10.5　设f（x）∈C[a，b]，f（x）在a，b内可导，且f′（x）≠0，试证存在ξ，η∈（a，b），使得

习题10.6　设f（x）在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，f（0）=0，当x＞0时，f（x）＞0，试证对任意的正整数k，存在ξ∈（0，1），满足

习题10.7　假设函数f（x）和g（x）在[a，b]上存在二阶导数，并且g′′（x）≠0，f（a）=f（b）=g（a）=g（b）=0，试证明：

（1）在开区间（a，b）内g（x）≠0.

（2）在开区间（a，b）内至少存在一点ξ，使得

习题10.8　设函数f（x），g（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，且f（a）=f（b）=0，试证：至少存在一点ξ∈（a，b），使

习题10.9　已知函数f（x）在区间[−1，1]上连续，在（−1，1）内可导，且f（0）=0，f（1）=1.

证明：（1）存在ξ∈（0，1），使得f（ξ）=1−ξ；(www.daowen.com)

（2）存在两个不同的点η1，η2∈（0，1），使得f′（η1）f′（η2）=1.

（提示：利用零点存在定理，Lagrange中值定理即可证明.）

C组

习题10.10　f在[0，1]上可导且f（0）=0，f（1）=1，证明：∃x1，x2∈（0，1），x1≠x2，使

习题10.11　设函数f（x）在[a，+∞）上连续，在[a，+∞）内可导，且试证明：存在ξ＞a，使得f′（ξ）=0.

习题10.12　设函数f（x）在闭区间[0，1]上连续，在开区间（0，1）内可导，且f（0）=0，f（1）=1.试证明：对于任意给定的正数a和b，在开区间（0，1）内存在不同的ξ和η，使得

习题10.13　设函数f（x）在[0，2]上连续，在（0，2）内可导，且f（0）+f（1）=2，f（2）=1.证明：存在ξ∈（0，2），使得f′（ξ）=0.

习题10.14　设函数f（x）在（0，+∞）内有定义，在x=1点可导，且f′（1）=a（a≠0），又对任意（x，y）∈（0，+∞）有f（xy）=f（x）+f（y）成立.

（1）求f（1）；

（2）证明

习题10.15　设函数f（x）于[a，b]上连续，在（a，b）内具有二阶导数且存在相等的最大值，f（a）=g（a），f（b）=g（b），证明：存在ξ∈（a，b）使得

习题10.16　设函数f（x）满足

（i）在闭区间[a，b]上连续，且f（a）=f（b）=0；

（ii）在（a，b）内具有二阶导数，且在x=a点处一阶右导数证明：至少存在一点ξ∈（a，b），使得f′′（ξ）＜0.