10.2.1　基本习题讲解

例10.1　设函数f（x）在有穷区间（a，b）内可导，且

证明：在（a，b）内必有一点C，使得f′（C）=0.

证明　构造函数g（x），使其满足Rolle定理的条件.

令

其中

则g（x）在区间[a，b]上连续，开区间（a，b）内可导，由Rolle中值定理知，在（a，b）内存在一点C∈（a，b），使g′（C）=0，由g（x）的定义，得到

f′(C)=0.

例10.2　试用Lagrange中值定理证明不等式：

pyp−1(x−y)＜xp−yp＜pxp−1(x−y)(0＜y＜x,p＞1).

证明　令f（z）=zp，则f（z）在[y，x]上满足中值定理的条件，故存在一点ξ∈（y，x），使得

又yp−1＜ξp−1＜xp−1，则不等式成立.

例10.3　设函数f（x）在区间[a，b]上满足Rolle定理的条件，且f（x）不恒为常数，则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得f′（ξ）＞0.

证明　假设不存在ξ∈（a，b），使得f′（ξ）＞0，则对于任意ξ∈（a，b），均有f′（ξ）≤0.

任取x1＜x2，且x1，x2∈[a，b]，由Lagrange中值定理，存在ξ∈（x1，x2），使

故f（x2）≤f（x1），即在[a，b]单调减少，又f（a）=f（b），故f（x）恒为常数，与条件矛盾，得证.

例10.4　设函数f（x）在[0，1]上有二阶导数，且

又f（x）在（0，1）内取得最大值.证明：

证明　由于f（x）在（0，1）内取得最大值，则存在x0∈（0，1）及x0的邻域，使得该邻域内，f（x）≤f（x0），由Fermat定理，f′（x0）=0.

另外，由中值定理，存在ξ1∈（0，x0），ξ2∈（x0，1），使得

两式相加，注意到f′（x0）=0，得(www.daowen.com)

10.2.2　拓展习题讲解

例10.5　若f′（x）于（a，b）内存在且有界，试证f（x）于（a，b）上一致连续.

证明　由f′（x）于（a，b）内有界，则存在M＞0，使

任意的x1，x2∈（a，b），不妨设x1＜x2，则f（x）在[x1，x2]上满足Lagrange中值定理的条件，存在ξ∈（x1，x2），使

成立，就有

由一致连续的定义，知f（x）于（a，b）上一致连续.

注　式（10-1）也称为f（x）于（a，b）上满足Lipschitz条件.

例10.6　设a0，a1，···，an满足

则函数f（x）=a0+a1x+···+anxn在（0，1）内至少存在一个解.

证明　令

由题中的条件，可知G（0）=0，G（1）=0，G（x）于[0，1]上满足Rolle定理的条件，即存在ξ∈（0，1），使G′（ξ）=f（ξ）=0，得证.

例10.7　当x＞0时，试证明：＜ln（1+x）＜x.

证明　对于右半部分，由Lagrange中值定理，存在ξ∈（0，x），使得

得证右边不等式.令F（x）=（x+1）ln（x+1），类似可以证明左边的不等式.请读者自行证明.

例10.8　设函数f（x）于[x1，x2]上可导，并且x1x2＞0，证明存在一点ξ，使得

由Lagrange中值定理，当G＜x1＜x时，有

类似可以证明：

例　设f（x）处处可导，若则必有+∞.

例　设函数f（x）在（0，+∞）内有界且可导，当存在时，有