1.费马（Fermat）定理.

设f（x）在点x0可导，在x0的某邻域内有定义，且恒有f（x）≤f（x0）（或者f（x）≥f（x0））成立，则

其几何意义是：如果曲线f（x）在x0有极大值（或者f（x0）在x0有极小值），只要在点（x0，f（x0））曲线有切线（垂直切线除外），其切线必为水平的.

2.中值定理.

Rolle定理　设f（x）于闭区间[a，b]连续，在开区间（a，b）可导，且f（a）=f（b），则至少存在一点ξ∈（a，b）使得

Lagrange中值定理　设f（x）于闭区间[a，b]连续，在开区间（a，b）可导，则至少存在一点ξ∈（a，b）使得

Cauchy中值定理　设f（x），g（x）于闭区间[a，b]连续，在开区间（a，b）可导，且g′（x）≠0，则至少存在一点ξ∈（a，b），使得

（1）中值定理，也称有限改变量定理，刻画了函数的变化率与导数的某种关系.

（2）Rolle定理、Lagrange中值定理、Cauchy中值定理是逐步推广的，Lagrange中值定理是Cauchy中值定理的特殊情况（此时g（x）=x），Rolle定理是Lagrange中值定理的特殊情况（此时f（a）=f（b））.

（3）注意Rolle中值定理的条件，开区间内可导，闭区间上连续，两个端点的值相同.Rolle定理实际上给出了函数存在一个零点的证明方法，这和闭区间上连续函数的性质——零点存在定理要区别开来，二者的条件是不同的，分别用来证明导函数和函数本身存在零点.如拓展习题讲解的例10.6.(www.daowen.com)

例　设函数f（x）在闭区间[a，b]上有定义，在开区间（a，b）可导，则（）.

（A）当f（a）f（b）＜0时，存在ξ∈（a，b）使得f（ξ）=0

（B）对任何ξ∈（a，b），有

（C）当f（a）=f（b）时，存在ξ∈（a，b）使得f′（ξ）=0

（D）存在ξ∈（a，b）使得f′（ξ）（b−a）=f（b）−f（a）

解　由于f（x）在开区间（a，b）可导，故连续，可知（B）正确.其他选项不难举出反例来.

3.中值定理是微分学的一个重要概念，应深刻理解和掌握.

应用中值定理的困难在于如何从结论出发，构造相应的函数，使其导数满足相应的等式，或者导数适当放大或缩小满足相应的不等式.这一点需要在练习中不断地体会.