1.导数、左右导数的定义.

设函数f（x）在x0的某邻域内有定义，如果函数的变化率的极限

因此，f′（x0）存在的充分必要条件是存在且相等.对导数的定义作如下的几点解释：

（1）导数是函数的因变量改变量与自变量改变量的比值的极限（即函数变化率的极限）.因此，导数是求一种特殊的函数的极限.

（2）左右导数反映某一点（一元函数）的左右两个不同方向的函数的变化率情况，如果均存在且相等，则函数在该点可导.反之，就是不可导.

（3）导数的几何意义：瞬时速度、曲线在某一点的切线的斜率.应当注意的是，当曲线在x0点有垂直于x轴的切线时，其导数在该点不存在，因此不能说“f（x）在x0点不可导，则f（x）在x0处无切线”.

（4）函数在某一点是否可导，只与该函数在该点附近的性态有关，因此与函数的极限和连续性相似，可导性是一种局部性概念.

（5）和f′（x0+0）是不同的，前者表示f（x）在x0处的右导数，后者表示f（x）的导数f′（x）在x0处的右极限；两者之中一个存在，不能保证另外一个存在，但是当两者都存在时，二者必相等.详细见基本习题讲解中的例7.6.

2.导数和连续的关系.

（1）导数在某一点存在，由定义出发，可得函数在该点连续.但是连续函数不一定可导.例如，y=|x|在x=0点连续，但是不可导.因此，导数是反映函数的某种光滑性质的，有“尖点”的函数在“尖点”处一定不可导.

（2）从定义还可以看出，只要函数在x0的左右导数存在（不一定相等），就可以证明函数在x0点连续（见本课拓展习题讲解）.(www.daowen.com)

3.掌握基本初等函数的导数及导数的四则运算.

4.对于分段函数，如果判断其可导性，必须先判断其连续性，然后严格按照左、右导数的定义去求左、右导数，从而判断其可导性.

从基本习题讲解例7.6的结论看出，当左右导数难以计算时，利用导函数在分段点的左右极限也可以判断函数在分段点的可导性.但是，应当注意的是，该结论的逆命题未必成立.因此，该判断方法是有一定的局限性的.

5.导数的定义应该注意的一个问题.

两个函数的和的极限存在，这两个函数的极限是不一定存在的，这样的例子是很多的，也即f（x0）在x0点不一定可导.例如f（x）=|x|在x0=0点就是反例.当然，如果f（x0）在x0点可导，则

存在，且为2f′（x0）.

6.函数的可导性与一致连续的关系.

先回忆一致连续的定义：

函数f（x）在区间I上为一致连续，如果对于每一个ε＞0，存在δ＞0，使得当x′，x′′∈I且|x′−x′′|＜δ时，成立

从定义上可以看出，如果函数在区间上的变化率能够被“控制住”，这样就可以找到区间上公用的δ，使得一致连续的定义成立.因此，如果导数在区间上有界，则函数在该区间上一致连续.但是反之不然，例如f（x）=|x|在[−1，1]上一致连续，但是不可导.