6.2.1　基本习题讲解

例6.1　证明：若函数f（x）在区间（a，b）内连续，又

则必有ξ∈[x1，xn]，使得

证明　函数f（x）在区间（a，b）内连续，故函数f（x）在区间[x1，xn]内连续，f（x）在区间[x1，xn]上有最大值和最小值，则存在两数m，M，对于任意的x∈[x1，xn]，满足

从而

由介值定理，存在ξ∈[x1，xn]，使得

例6.2　试定义f（0）的值，使得

在x=0点连续.

解　要使得f（x）在x=0点连续，即f（x）在x=0点的极限值等于该点的函数值.由于，故定义f（0）=0即可.

例6.3　证明f（x）=sinx2在（−∞，+∞）上不一致连续.

证明　首先给出f（x）在区间I上不一致连续的定义：

至少存在一个ε0＞0，使得对于任意的δ＞0（无论取多么小），总可以找到两点x1，x2∈I，满足|x1−x2|＜δ，但是|f（x1）−f（x2）|≥ε0.

又根据闭区间上的连续函数必一致连续知，f（x）在[a，M+1]上一致连续.因此对于上述ε存在δ＞0，使得当x′，x′′∈[a，M+1]且|x′−x′′|＜δ时，有

不妨假定上述δ＜1.要证明：当x′，x′′∈[a，+∞）且|x′−x′′|＜δ时，有

实际上，如果x′，x′′∈[a，M+1]，则已无问题.又若x′，x′′＞M，则有(www.daowen.com)

由于|x′−x′′|＜δ＜1，故只可能发生以上两种情况.

6.2.2　拓展习题讲解

例6.5　设函数f（x）于区间[0，1]上连续，且对任意的x∈[0，1]，都有f（x）∈[0，1]，求证：存在x0∈[0，1]，使得f（x0）=x0.

证明　若f（0）=0或f（1）=1，则命题成立.

否则，令g（x）=f（x）−x，则g（x）在[0，1]上连续，由于

从而

由零点存在定理，存在ξ∈（0，1），使得g（ξ）=0，命题得证.

例6.6　证明：若函数f（x）于区间[a，+∞）上连续，且

（A为有限数），则此函数在已知区间上为有界的.

证明　由于，取ε=1，则存在正数X＞0，使当x＞X时，恒有

所以

由于f（x）在[a，X]上连续，因而有界，即存在常数M1＞0，使对于任意的x∈[a，X]，恒有

取M=max{M1，|A|+1}，则当x∈[a，+∞）时，有