1.闭区间上连续函数的性质

•闭区间上的连续函数必有界.

•闭区间上的连续函数存在最大值和最小值.

•闭区间上的连续函数必一致连续.

•介值定理（零点存在定理），可用来证明方程的解的存在性.

零点存在定理：设f（x）在[a，b]上连续，且f（a）f（b）＜0，则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得

介值定理：设f（x）在[a，b]上连续，且M，m分别是f（x）在[a，b]上的最大值和最小值，则对于m≤c≤M，在[a，b]内至少存在一点ξ，使得

在利用闭区间上的连续函数性质时，可以补充定义，使其满足闭区间上连续.

例　设函数f（x）在[a，b）内连续，且

证明f（x）在[a，b）内有界.

证明　方法一，可以补充定义，令

则F（x）于[a，b]上连续，故f（x）在[a，b]内有界，因此f（x）在[a，b）内有界.(www.daowen.com)

方法二，由=c极限存在的局部有界性，则存在δ＞0（a＜b−δ），m＞0，当x∈（b−δ，b）时，|f（x）|≤m.

由于f（x）在[a，b−δ]上连续，故存在M＞0，当x∈[a，b−δ]时，有|f（x）|≤M，因此，当x∈[a，b）时，|f（x）|≤max{M，m}.

2.一致连续

（1）连续与一致连续的区别

函数f（x）在区间I上为一致连续，如果对于每一个ε＞0，存在δ＞0，使得当x′，x′′∈I且|x′−x′′|＜δ时，成立

f（x）在区间I上连续和一致连续的区别：

从定义上来看，f（x）在区间I上连续，则f（x）于区间I内的每一点x0均连续，同一个ε＞0，找到的δ不仅依赖于ε，还和点x0处函数的性态有关系；而一致连续则是对于同一个ε＞0，找到的δ仅依赖于ε，对所有的x0∈I均适用，因此一致连续是一个整体概念，连续是一个局部概念，一致性体现在区间I内的所有点使用公共的δ.

从定义还可以看出，一致连续蕴涵了连续.

函数的极限、连续、区间上连续、一致连续，这四个概念是逐步深入的，应从定义出发，通过比较了解概念的本质.

（2）注意一个例子

在（0，1]区间上不一致连续.（由于定义域区间不是闭区间，因此，它虽然连续，但既不是有界的，也不是一致连续的.）