1.函数在某一点连续、左右连续的定义.

（1）函数在某一点的连续性的定义

设函数f（x）在x0及其邻域内有定义，若对于任意的ε＞0，存在δ＞0（这里δ和ε，x0有关），当|x−x0|＜δ时，有

则称函数f（x）在x0点连续.记为

比较函数在某一点的连续性的定义和函数在某一点的极限存在的定义，可以看出，前者是后者的特殊情况，即f（x）在x0的极限值存在且等于f（x）在x0点的函数值f（x0）时，称函数f（x）在点x0连续.

（2）如果左极限

则称f（x）在x0点左连续；

如果右极限

则称f（x）在x0点右连续；

并且f（x）在点x0连续的充分必要条件是f（x）在x0点左连续且右连续.

2.函数在区间上连续的定义、三类间断点的定义.(www.daowen.com)

（1）函数f（x）在开区间（a，b）内连续：若函数f（x）在开区间（a，b）内的每一点都连续.

（2）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续：若函数f（x）在开区间（a，b）内连续，且在左端点x=a处右连续，在右端点x=b处左连续.

（3）间断点分三类：

•可去间断点：极限存在，在该点没有定义；

•第一类间断点：左右极限存在但不相等；

•第二类间断点：左右极限至少有一个不存在.

3.掌握函数的连续性，并能利用函数的连续性求函数的极限.（1）如果y=f（x）在点x0处连续，由连续性的定义可知

（2）基本初等函数和初等函数在其定义域内均是连续的，两个连续函数的和、差、积、商（分母不是零）仍是连续函数.

（3）如果u=g（x）在点x0处连续，y=f（u）在点u0=g（x0）处连续，由复合函数的连续性可知y=f（g（x））在点x0处连续，因此

也就是说，连续性保证了极限号与函数符号f可以互换次序.