1.函数极限的四则运算

设limf（x）=a，limg（x）=b，则有

(1)limf(x)±g(x)=a±b,(2)limf(x)g(x)=ab,

应当注意的是，使用四则运算的前提是两个极限均存在.且有如下结论：

•若limf（x）存在，limg（x）不存在，则limf（x）±g（x）一定不存在.

•若limf（x）=a≠0，limg（x）不存在，则limf（x）g（x）一定不存在.

•若limf（x）g（x）存在，且limf（x）存在，limg（x）不存在，则limf（x）=0.

例　设对任意的x，总有φ（x）≤f（x）≤g（x），并且满足

2.函数极限的性质

（1）函数极限的唯一确定性（这和数列极限的性质是相同的）.

若极限存在，则它的极限值是唯一的.

（2）函数极限的局部有界性（去心邻域内有界）.

若极限则存在M＞0，δ＞0，当0＜|x−x0|＜δ时，有

（3）函数极限的保序性（也称保号性）.

特别当g（x）≡0时，即=A＞0，存在δ＞0，当0＜|x−x0|＜δ时，有f（x）＞0，也就是在某一邻域内保持了函数的符号（与极限值的符号相同），称为函数极限的保号性.

与数列的极限的性质相似，有下面的问题：

例　若函数的极限满足

且存在δ＞0，当0＜|x−x0|＜δ时，有f（x）≥g（x），证明A≥B.

反过来，若存在δ＞0，且当0＜|x−x0|＜δ时，有f（x）＞g（x），是否A＞B一定成立？（读者可参看数列极限的相关性质得到答案）

（4）若=A，则有

3.海涅（Heine）定理

设f（x）在点x0的某一邻域内有定义，则limf（x）=A的充分必要条件是，对于任意的数列有(www.daowen.com)

（1）Heine定理给出了函数极限和数列极限的一个等价关系.对于数列的极限，可以化为相应的函数的极限来求.如果对应的函数的极限存在，则数列的极限也存在，且为同一极限（详见本课拓展习题中的例4.5）.而函数的极限一般不能用相应的数列的极限去求，因为任意的相应的数列都要验证，这是一件不能完成的事情.

（2）xn≠x0，这一点正是对应了函数极限中的f（x）在x0点可能无定义的情形.

（3）利用Heine定理的逆否命题，构造不同的数列，如果某数列不收敛，或者两个不同数列收敛到不同的极限，则可以证明函数的极限不存在.例如证明极限不存在.

4.函数极限的判定方法、特殊函数的极限

（1）夹挤定理、Cauchy准则同数列的极限.

（2）利用Heine定理判定.

（3）两类特殊函数的极限：

注　应当注意的是极限而不是e.

5.无穷小量和无穷大量

（1）以零为极限的变量称为无穷小量.

（2）无穷大量和无界是两个不同的概念，注意区别.

任意正数M＞0，总存在δ＞0（或X＞0），当0＜|x−x0|＜δ（或|x|＞X）时，有

成立，则称函数f（x）为当x→x0（或x→∞）时的无穷大量.

例　证明f（x）=xsinx在（−∞，+∞）内无界.

（3）函数（数列）的极限的无穷小量表示

（4）无穷小量的比较实际上是型不定式的极限，不同的极限值表示两个无穷小量的不同关系，可分为高阶无穷小量、同阶无穷小量、等价无穷小量三类.

一些常用的等价无穷小量，当x→0时，

等等.

在求函数的极限中，可以利用等价无穷小量进行替换，使求极限的运算变得简单，即如果

结合使用，求一些函数的极限很方便.