3.2.1　基本习题讲解

从而上述的闭区间列构成了一个区间套.利用区间套定理，得到数列{xn}，{yn}都收敛，且有相同的极限.

注　此题亦可利用“单调有界数列必收敛”得到证明.

例3.2　设函数f（x）于（−∞，+∞）内单调有界，{xn}为数列，则下列命题中正确的是（　）.

（A）若{xn}收敛，则{f（xn）}收敛；（B）若{xn}单调，则{f（xn）}收敛；

（C）若{f（xn）}收敛，则{xn}收敛；（D）若{f（xn）}单调，则{xn}收敛.

解　由单调性定义与数列的单调有界定理，知（B）正确。

例3.3　利用Cauchy收敛原理证明数列

为收敛的.

证明　任意正整数m，n（m＞n），

成立.(www.daowen.com)

3.2.2　拓展习题讲解

例3.5　用ε−δ语言证明：

例3.7　用定义证明下面函数的极限.

在点x=0处没有极限.

证明f（x）在x0点没有极限的分析表述：

对于任意的A∈R，如果存在ε0＞0，对任何δ＞0，总存在一点xδ，满足0＜|xδ−x0|＜δ，但是

就称f（x）在点x0处没有极限.

下面给出本题的证明：对于任意的A∈R，先设A≥0，取ε0=，则对于任意的δ＞0，取n0足够大，可以使得

按照定义知，函数在点x=0处没有极限.