2.2.1　基本习题讲解

例2.1　证明：

由数列单调有界必收敛，可得该数列收敛.

例2.4　证明：若数列{xn}无界，则{xn}必有一子数列{xkn}存在，使得

证明　由数列{xn}无界，即对于任何M＞0，均存在正整数m使得

因数列{xn}无界，故存在某项xk1，满足|xk1|＞1.

由于数列{xn}（n=k1+1，···）也无界，故存在某项xk2（k2＞k1），使得|xk2|＞2.

···

由于数列{xn}（n=km+1，···）也无界，则存在某项xkm+1（km+1＞km），使得|xkm+1|＞m+1.

···

这样就得到数列{xn}的一个子列{xkn}，且满足

由此可知

例2.5　证明：单调数列若有一个子数列收敛，则该单调数列也收敛.

证明　假设数列{xn}单调增加，且其子列{xkn}收敛于a，则由定义，∀ε＞0，存在正整数N1，当m＞N1时，有

对于上述的ε＞0，取N=kN1，当n＞N时，由于

故存在m′（m′＞N），使得km′≤n＜km′+1.

由于m′＞N，故

又xkm′≤xn≤xkm′+1，得到

从而对于所有的n＞N，式（2-4）均成立，证毕.

2.2.2　拓展习题讲解

例2.6　设0＜α＜1，求证：

证明　由于(www.daowen.com)

又1−α＞0，故

由夹挤定理得到证明.

证明　由（1）、（2）知两数列均收敛且极限值相同，定义为e.

例2.8　设

试证明{xn}收敛.

则数列{xn}有界.由单调有界必有极限法则可证明{xn}收敛.

例2.9　利用Cauchy收敛原理证明数列

收敛.

证明　∀正整数p，n，

于是

•当a1≤0时，有a2＞a1，数列{an}单调增加；

•当0＜a1＜4时，a2＞a1，数列{an}单调增加；

•当a1＞4时，有a2＜a1，数列{an}单调减少；

•当a1=4时，an=4，n=2，3，···.

且注意到

即an+1−4与a1−4同号，故

•当a1≤0或0＜a1＜4时，an＜4，n=1，2，···，因此数列{an}单调增加有上界，故收敛；

•当a1＞4时，an＞4，此时数列单调减少有下界，故亦收敛；

•当a1=4时，显然收敛.

得极限值A=4.