我们由二重积分的定义可知,当f(x,y)在区域D上可积时,其积分值与区域D的分割方法无关,因此可以采取特殊的分割方法来计算二重积分,以简化计算.在直角坐标系中,用分别平行于x轴和y轴的直线将区域D分成许多小矩形,这时面积元素dσ=dxdy,二重积分也可记为
在讨论二重积分的计算之前,先要介绍两种类型的区域.
(1)若区域D可以表示为
其中φ1(x),φ2(x)在[a,b]上连续,则称D为x型区域(图3-3).
(2)若区域D可以表示为
其中ψ1(y)、ψ2(y)在[c,d]上连续,则称D为y型区域(图3-4).
图3-3
图3-4
下面以积分区域为x型区域为例.由二重积分的几何意义可知,我们可以通过计算以曲面z=f(x,y)为顶,以xOy平面上闭区域D为底的曲顶柱体的体积来得出二重积分的值.
采用“已知平行截面面积求立体的体积”的方法,如图3-5所示,过点(x,0,0)(a≤x≤b)作垂直于x轴的平面与曲顶柱体相截,其截面为以区间[φ1(x),φ2(x)]为底,曲线z=f(x,y)为曲边的曲边梯形(图中阴影部分),记其面积为S(x),由定积分的几何意义可知
其中f(x,y)中的x在关于y的积分过程中视为常数.
于是,便得到该曲顶柱体的体积为
图3-5
称上式为先对y后对x的二次积分.
类似地,若积分区域为y型区域,得
称上式为先对x后对y的二次积分.
解 画出区域D的图形,如图3-6所示.
若先对y积分,则D可表示为:0≤y≤x,0≤x≤1,因此
若先对x积分,如图3-7所示,则D可表示为:y≤x≤1,0≤y≤1,因此
图3-6
图3-7
解 画出区域D的图形(图3-8).
图3-8
则D可表示为0≤y≤1,y≤x≤2-y.故(www.daowen.com)
或D表示为D1:0≤x≤1,0≤y≤x和D2:1≤x≤2,0≤y≤2-x.故
解 如果先对x积分,需要采用分部积分法;如果先对y积分,则不必采用分部积分法,计算会简单些.因此选择先对y积分.
分析 若先对y积分,要用平行于y轴的直线将区域D分成三个x型区域D1,D2,D3(图3-9).分别求这三个x型区域上的二重积分,最后利用积分可加性把它们相加即得.
若先对x积分,D可表示为:y≤x≤y+4,2≤y≤4,这是一个y型区域(图3-10),因此我们先对x积分比较简便.
图3-9
图3-10
解
由例3、例4、例5可以发现,将二重积分化为二次积分时,在选择积分次序时要考虑被积函数和积分区域两个因素.
D={(x,y)|0≤x≤1,x≤y≤1}为其积分区域,如图3-11所示.
图3-11
一般地,交换二次积分次序的步骤如下:
画出积分区域 D.
(2)根据积分区域的形状,按新的次序确定积分区域D的积分限
(3)写出结果
综上所述,将二重积分化为二次积分,选择积分次序时,不仅要考虑被积函数的特点,还要看积分区域的特征.选择恰当的积分次序,能简化积分的计算.
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