【摘要】:前面讨论的函数极值问题,除了对自变量限制在其定义域内之外,并没有其他的限制条件,所以也称为无条件极值.但在某些实际问题中,常常会遇到对函数的自变量还有约束条件的极值问题.例如,在条件g(x,y)=x+y-1下,求函数z=f(x,y)=的极大值.这里,函数z=f(x,y)的自变量x、y除了限制在函数f(x,y)的定义域内,即x2+y2≤1,还要满足约束条件g(x,y)=x+y-1.这种对自变量有约束
某些条件极值也可以化为无条件极值,然后按无条件极值的方法加以解决.但是,有些条件极值化为无条件极值问题,常会遇到烦琐的运算.为此,下面介绍直接求条件极值的方法,该方法称为拉格朗日乘数法.
拉格朗日乘数法 求函数u=f(x,y)在约束条件φ(x,y)=0下的可能极值点,按以下方法进行.
(1)构造辅助函数
(2)求F(x,y,λ)对x,y,λ的偏导数,由极值存在的必要条件,建立以下方程组
(3)解上面方程组,求得x、y,则(x,y)就是可能的极值点.至于如何判断所求得的可能极值点是否为极值点,这里不再详述.但是在实际问题中,通常可根据问题本身的性质来判断.
此外,拉格朗日乘数法,对于多于两个变量的函数,或约束条件多于一个的情形也有类似的结果.例如,求函数u=f(x,y,z),在条件φ(x,y,z)=0,ψ(x,y,z)=0下的极值.(www.daowen.com)
构造辅助函数
求函数F(x,y,z,λ1,λ2)的一阶偏导数,并令其为零,得联立方程组,求解方程组得出的点(x,y,z)就是可能的极值点.
例3 利用拉格朗日乘数法求解例2.
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