多元函数的极值在许多实际问题中有着广泛的应用.以二元函数为主，介绍多元函数的极值概念，极值存在的必要条件和充分条件.

设函数z=f（x，y）在点（x0，y0）的某邻域内有定义，如果对于该邻域内的任一点（x，y）都有f（x，y）≤f（x0，y0）（或f（x，y）≥f（x0，y0）），则称f（x0，y0）为函数f（x，y）在点（x0，y0）处的极大值（或极小值），点（x0，y0）称为函数f（x，y）的极大值点（或极小值点）.函数的极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点.

如函数f（x，y）=1-x2-y2在原点（0，0）处取得极大值1.

对于可导一元函数的极值，可以用一阶、二阶导数来确定.对于偏导数存在的二元函数的极值，也可以用偏导数来确定.

定理1（极值存在的必要条件） 设函数z=f（x，y）在点（x0，y0）处的两个偏导数都存在，且在该点处取得极值，则必有

证明 由于函数f（x，y）在点（x0，y0）处取得极值，若将变量y固定在y0，则一元函数z=f（x，y0）在点x0处也必取得极值，根据一元可微函数极值存在的必要条件，得

证毕.

使f′x（x，y）=0与f′y（x，y）=0同时成立的点（x，y）称为函数f（x，y）的驻点.

由定理1可知，对于偏导数存在的函数，它的极值点一定是驻点.但是，驻点却未必是极值点.如函数z=xy，在点（0，0）处的两个偏导数同时为零，即z′x（0，0）=0，z′y（0，0）=0，但是容易看出驻点（0，0）不是函数的极值点.因为在点（0，0）的任何一个邻域内，总有些点的函数值比0大，而另一些点的函数值比0小，所以驻点（0，0）不是函数z=xy的极值点.

定理2（极值存在的充分条件） 设函数z=f（x，y）在点（x0，y0）的某个邻域内连续且有连续的一阶及二阶偏导数，点（x0，y0）是函数的驻点.令

则f（x，y）在点（x0，y0）是否取得极值的条件如下：

（1）当AC-B2＞0时有极值，且当A＜0时，有极大值，当A＞0时，有极小值；

（2）当AC-B2＜0时没有极值；(www.daowen.com)

（3）当AC-B2=0时可能有极值，也可能没有极值.

证明从略.

综合以上两个定理，把具有二阶连续偏导数的函数z=f（x，y）的极值求法概括如下：

（2）求出二阶偏导数f″xx（x，y）、f″xy（x，y）、f″yy（x，y），并对每一驻点，分别求出二阶偏导数的值A、B、C；

（3）对每一驻点，判断AC-B2的符号，当AC-B2≠0时，可按上述定理的结论判定f（x0，y0）是否为极值，是极大值还是极小值.当AC-B2=0时，这里无法判断.

例1 求函数f（x，y）=x3+y3-3xy的极值.

求函数f（x，y）的二阶偏导数：

在点（0，0）处，有A=0，B=-3，C=0，AC-B2=-9＜0，所以f（0，0）=0不是极值.

在点（1，1）处，有A=6，B=-3，C=6，AC-B2=27＞0，且A=6＞0，所以f（1，1）=-1是函数的极小值.