理论教育 高等数学:隐函数的求导方法

高等数学:隐函数的求导方法

时间:2023-10-18 理论教育 版权反馈
【摘要】:一元隐函数的求导方法前面已经学习过,现在从另一个角度来讨论这个问题.设方程F(x,y)=0所确定的隐函数y=f(x)的导数存在,函数F(x,y)在点(x,y)的某个邻域内有连续的偏导数F′x(x,y)和F′y(x,y),且F′y(x,y)≠0,则隐函数y=f(x)的导数为这是因为将方程F(x,y)=0所确定的隐函数y=f(x)代入F(x,y)=0,得恒等式F(x,f(x))≡0.上式左端可看作是x

高等数学:隐函数的求导方法

一元隐函数的求导方法前面已经学习过,现在从另一个角度来讨论这个问题.

设方程F(x,y)=0所确定的隐函数y=f(x)的导数存在,函数F(x,y)在点(x,y)的某个邻域内有连续的偏导数F′x(x,y)和F′y(x,y),且F′y(x,y)≠0,则隐函数y=f(x)的导数为

这是因为将方程F(x,y)=0所确定的隐函数y=f(x)代入F(x,y)=0,得恒等式F(x,f(x))≡0.

上式左端可看作是x的复合函数,求其导数,得

又因为F′y≠0,所以整理得公式(2.11).

例6 求由方程sin(x+y)=xy所确定的隐函数y的导数.(www.daowen.com)

解 设F(x,y)=sin(x+y)-xy,则

代入公式(2.11),得

类似地,由三元方程F(x,y,z)=0可以确定一个二元隐函数z=f(x,y).设函数F(x,y,z)在点(x,y,z)的某个邻域内,有连续的偏导数F′x(x,y,z)、F′y(x,y,z)、F′z(x,y,z),且F′z(x,y,z)≠0,则在点(x,y,z)的某个邻域内,由三元方程F(x,y,z)=0可以确定一个二元隐函数z=f(x,y),且

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