在一元函数中，可微与可导是等价的，且dy=f′（x）dx，那么，二元函数z=f（x，y）在点（x，y）处的可微与偏导数之间存在什么关系呢？全微分定义中的A，B又如何确定？它是否与函数f（x，y）有关系呢？

定理1（可微的必要条件） 若函数z=f（x，y）在点（x0，y0）处可微，即Δz=AΔx+BΔy+o（ρ），则在该点f（x，y）的两个偏导数存在，并且

上面定理指出，二元函数在一点可微，则在该点偏导数一定存在.反过来，若在一点偏导数存在，那么在该点是否一定可微呢？下面先来讨论可微与连续的关系.

定理2（可微的必要条件） 若二元函数z=f（x，y）在点（x，y）处可微，则在该点一定连续.

证明 根据函数可微定义，有

当Δx→0，Δy→0时，ρ→0，于是ο（ρ）→0，因此

由函数连续性的定义得，z=f（x，y）在点（x，y）处连续.证毕.

我们知道，函数的偏导数存在，不一定能保证函数连续，再由定理2可知，函数在一点不连续，则在该点一定不可微.因此，函数的偏导数存在，函数不一定可微.(www.daowen.com)

例如，函数

在点（0，0）处不连续，故由定理2可知，在（0，0）点是不可微的.但这个函数在点（0，0）的两个偏导数是存在的，且

那么，在什么条件下，两个偏导数存在才是二元函数可微的充分条件呢？

定理3（可微的充分条件） 若二元函数z=f（x，y）在点（x，y）处的两个偏导数f′x（x，y）、f′y（x，y）存在，且在点（x，y）处连续，则函数z=f（x，y）在该点一定可微.

证明从略.

上面三个定理说明：函数可微，偏导数一定存在；函数可微，函数一定连续；偏导数连续，函数一定可微.

上面讨论的三个定理可以推广到三元和三元以上的多元函数.如三元函数u=f（x，y，z）的全微分存在，则有