仿照一元函数连续性的定义，下面给出二元函数连续性的定义.

设函数z=f（x，y）在点P0（x0，y0）的某个邻域内有定义，如果

则称函数f（x，y）在点P0（x0，y0）处连续.

函数在一点处连续的定义，也可以用增量形式定义.如果在点P0（x0，y0）处，自变量x、y各取得增量Δx、Δy，则函数相应取得增量Δz，即

这个增量称为函数z=f（x，y）在点P0（x0，y0）处的全增量.现在用函数的全增量来表述函数在一点处连续的定义.记x=x0+Δx，y=y0+Δy，上面定义中的等式

于是，与上述定义等价的另一个定义如下.

设函数z=f（x，y）在点P0（x0，y0）的某个邻域内有定义，如果

则称函数z=f（x，y）在点P0（x0，y0）处连续.

如果函数z=f（x，y）在区域D上的每一点处都连续，则称函数z=f（x，y）在区域D上连续.连续的二元函数z=f（x，y）在几何上表示一张没有任何空隙和裂缝的曲面.

与一元函数相类似，二元连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为连续函数；二元连续函数的复合函数也是连续函数.下面讨论多元初等函数的连续性，为此，以二元函数为例，给出多元初等函数的定义.(www.daowen.com)

由常数x或y组成的基本初等函数，经过有限次的四则运算和复合运算且能用一个式子表达的函数称为二元初等函数.

定理1 二元初等函数在其定义区域内的每一点都连续（定义区域是指包含在定义域内的区域）.

利用上述结论，可以简单地求出二元初等函数z=f（x，y）在其定义区域内的任何一点P0（x0，y0）的极限，即f（x0，y0）.例如

与闭区间上的一元连续函数的性质类似，在有界闭区域上的二元连续函数也有以下结论.

定理2（最值定理） 如果函数f（x，y）在有界闭区域D上连续，则f（x，y）在D上一定存在最大值和最小值.

定理3（介值定理） 如果函数f（x，y）在有界闭区域D上连续，则f（x，y）在D上必可取得介于函数最大值M与最小值m之间的任何值.

以上关于二元函数的极限与连续的讨论可以推广到三元以上的函数.