1.曲面与方程

在空间解析几何中，任何曲面都可以看作点的几何轨迹.在这样的意义下，如果曲面S与三元方程

有下述关系：

（1）曲面S上任一点的坐标都满足方程F（x，y，z）=0；

（2）不在曲面S上的点的坐标都不满足方程F（x，y，z）=0.

那么，方程F（x，y，z）=0就叫作曲面S的方程，而曲面S就叫作方程F（x，y，z）=0的图形.

例1 建立球心在点M0（x0，y0，z0），半径为R的球面的方程（图1-22）.

解 设M（x，y，z）是球面上的任一点，那么

图1-22

2.旋转曲面

以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫作旋转曲面，这条定直线叫作旋转曲面的轴，这条曲线叫作母线.

下面建立以坐标轴为旋转轴的旋转曲面方程.

设在yOz坐标面上有一已知曲线C，它的方程为

把这条曲线绕z轴旋转一周，就得到一个以z轴为旋转轴的旋转曲面.它的方程求解如下.

设M（x，y，z）为曲面上任一点，它是曲线C上点M1（0，y1，z1）绕z轴旋转而得到的，因此有如下关系等式

这就是所求旋转曲面的方程.

同理，曲线C绕y轴旋转所成的旋转曲面的方程为

解 绕x轴旋转，所在的旋转曲面的方程为

绕z轴旋转，所在的旋转曲面的方程为

这两种曲面分别叫作双叶旋转双曲面和单叶旋转双曲面（双叶旋转双曲面如图1-23、图1-24所示，单叶旋转双曲面如图1-25、图1-26所示）.

图1-23

图1-24

图1-25

图1-26

3.柱面

平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L形成的轨迹称为柱面.定曲线C叫作柱面的准线，动直线L叫作柱面的母线.

例4 方程x2+y2=R2表示怎样的曲面？

解 方程x2+y2=R2在xOy面上表示圆心在原点O、半径为R的圆.在空间直角坐标系中，这个方程不含竖坐标z，即不论空间点的竖坐标z怎样，只要它的横坐标x和纵坐标y能满足这个方程，那么这些点就在这个曲面上.也就是说，过xOy面上的圆x2+y2=R2，且平行于z轴的直线一定在x2+y2=R2表示的曲面上.所以这个曲面可以看成是由平行于z轴的直线l沿x2+y2=R2面上的圆x2+y2=R2移动而形成的.这个曲面叫作圆柱面，xOy面上的圆x2+y2=R2叫作它的准线，平行于z轴的直线l叫作它的母线，如图1-27、图1-28所示.

图1-27

图1-28

一般地，在空间直角坐标系下，

F（x，y）=0：母线平行于z轴的柱面，其准线是xOy面上的曲线C：F（x，y）=0.

F（x，z）=0：母线平行于y轴的柱面，其准线是xOz面上的曲线C：F（x，z）=0.

F（y，z）=0：母线平行于x轴的柱面，其准线是yOz面上的曲线C：F（y，z）=0.

例5 方程y2=2x表示怎样的曲面？

解 表示准线是xOy平面上的抛物线y2=2x，母线是平行于z轴的抛物柱面（图1-29、图1-30）.

图1-29

图1-30

常见的柱面还有（图1-31至图1-36）：

图1-31

图1-32

图1-33

图1-34　椭圆柱面

图1-35　双曲柱面

图1-36　抛物柱面

4.二次曲面

前面介绍了球面、柱面、旋转曲面的方程.下面给出与平面解析几何中的二次曲线相类似的几个常用的二次曲面的方程.

（1）椭球面

下面讨论椭球面的性质及图像.(www.daowen.com)

①图形的范围.

由方程可知

由此，椭球面在由x=±a，y=±b，z=±c六个平面所围成的长方体内.

②对称性.

以-x代替方程中的x，方程不变，说明点（x，y，z）和关于yOz平面对称的点（-x，y，z）都在椭球面上，即椭球面关于yOz平面对称.同理，椭球面也关于zOx平面和xOy平面对称.

以-x，-y代替方程中的x，y，方程不变，说明椭球面关于z轴对称，同理，椭球面也关于y轴和z轴对称.

以-x，-y，-z代替方程中的x，y，z，方程不变，说明椭球面关于原点对称.

椭球面与三个坐标轴的六个交点（±a，0，0），（0，±b，0），（0，0，±c）称为椭球面的顶点.

③椭球面的截痕.

用平行于坐标面的平面去截曲面，所得的交线称为该曲面的截痕.

同样，用平行于yOz平面和zOx平面的平面去截椭球面能得到类似的结果.

图1-37

综上，可以得到椭球面的形状，如图1-37所示.

（2）单叶双曲面

由方程

所表示的曲面称为单叶双曲面，如图1-38、图1-39所示.

图1-38

图1-39

显然，单叶双曲面关于各坐标轴、坐标面及原点对称.

用一组平行于xOy平面的平面z=h去截它，截痕为椭圆，其方程为

用yOz平面截曲面，得到一条实轴为y轴的双曲线.

用zOx平面截曲面，得到一条实轴为x轴的双曲线.

（3）双叶双曲面

由方程

所表示的曲面称为双叶双曲面（图1-40）.

用同样的方法也可得到双叶双曲面的图形（图1-41）.

图1-40

图1-41

用平面x=h去截双叶双曲面，截痕方程为

（4）椭圆抛物面

图1-42

图1-43

（5）双曲抛物面

双曲抛物面又称马鞍面.

图1-44

图1-45