1.一般式方程

空间曲线可以看作两个曲面的交线，类似地，空间直线可以看作两个平面的交线.

设平面π1和π2的方程分别为A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0，则它们的交线是一条直线，交线的方程为

公式（1.12）称为空间直线的一般式方程.

因此，直线L可以用上述方程组来表示，上述方程组叫作空间直线的一般方程.

2.空间直线的对称式方程与参数方程

（1）直线的对称式方程

方向向量：如果一个非零向量平行于一条已知直线，这个向量就叫作这条直线的方向向量.

容易知道，直线上任一向量都平行于该直线的方向向量.

当直线L上一点M0（x0，y0，z0）和它的一方向向量s=（m.n，p）为已知时，直线L的位置就确定了，下面建立空间直线的方程.

设直线L经过点M0（x0，y0，z0），且直线的方向向量为s=（m.n，p），又设M（x，y，z）是直线L上任意一点（图1-20），则

图1-20

这就是直线L的方程，叫作直线的对称式方程或点向式方程.

注：当m，n，p中有一个或两个为零时应理解为相应的分子也为零.

如m=0，而n，p≠0时，这个方程组应理解为

当m，n，p中有两个为零，如m=n=0，而p≠0时，这个方程组应理解为

（2）直线的参数方程

由直线的对称式方程可以导出直线的参数方程.(www.daowen.com)

解 先求直线上的一点.取x=1，有

解此方程组，得y=-2，z=0，即（1，-2，0）是直线上的一点.

再求这条直线的方向向量s.以平面x+y+z=-1和2x-y+3z=4的法线向量的向量积作为直线的方向向量s：

4.直线与平面的夹角

图1-21

因为直线与平面垂直，相当于直线的方向向量与平面的法线向量平行，所以，直线与平面垂直相当于

因为直线与平面平行或直线在平面上，相当于直线的方向向量与平面的法线向量垂直，所以，直线与平面平行或直线在平面上相当于

设直线L的方向向量为（m，n，p），平面π的法线向量为（A，B，C），则

例11 求过点（1，-2，4）且与平面2x-3y+z-4=0垂直的直线的方程.

解 平面的法向量（2，3，-1）可以作为所求直线的方向向量.由此可得，所求直线的方程为

例12 求与两平面x-4z-3=0和2x-y-5z-1=0的交线平行且过点（-3，2，5）的直线的方程.

解 平面x-4z-3=0和2x-y-5z-1=0的交线的方向向量就是所求直线的方向向量s，

所以所求直线的方程为