1.点法式方程

平面的法向量：与平面垂直的向量称为平面的法向量，记作n；其坐标表达式常写为

显然，平面的法向量有无穷多个，而且平面上的任一向量都与该平面的法向量垂直.

由于过空间一点有唯一一个平面垂直于已知直线，因此，给定了平面的一个法向量和该平面上的一个点，平面就完全确定了.

设平面π过点M0（x0，y0，z0），且有法向量n=（A，B，C），在平面π上任取一个点M（x，y，z），得向量（图1-15）

图1-15

方程（1.7）表明：平面π上任意一点M的坐标满足方程（1.7）.

由此可见，方程（1.7）是平面π的点法式方程.

注：建立点法式方程的关键是确定平面上的一个点及平面的法向量.

例1 一平面过点M0（3，-2，1），且与M0到平面外一点M1（-2，1，4）的连线垂直，试写出此平面的方程.

例2 某平面过空间的三个点M1（2，-3，-1），M2（4，1，3），M3（1，0，2），试写出平面的方程.

2.平面的一般方程

把方程A（x-x0）+B（y-y0）+C（z-z0）=0变形，可得

记D=-（Ax0+By0+Cz0），则点法式方程被变形为

此平面可由方程（1.8）表示，方程（1.8）称为平面的一般方程.

注：（1）平面的一般方程Ax+By+Cz+D=0中x，y，z的系数恰好是平面法向量的坐标A，B，C；

（2）平面方程是三元一次线性方程，而且任何一个三元一次线性方程表示的均是平面；

（3）在平面的一般方程Ax+By+Cz+D=0中，A，B，C，D四个数中只有三个是独立的，法向量n的坐标不可能同时为零.

例3 平面π经过点M1（1，1，1）和M2（2，2，2），并且与已知的平面x+y-z=0垂直，求平面π的方程（图1-16）.

解法一 设平面π的一般方程：Ax+By+Cz+D=0.

M1在平面π上：A+B+C+D=0.

M2在平面π上：2A+2B+2C+D=0.

解得：D=0，C=0，B=-A，代入方程Ax+By+Cz+D=0可得

π：Ax-Ay=0 即π：x-y=0.

图1-16

可取法向量n=（2，-2，0）以及点M1（1，1，1），

建立平面的点法式方程为：x-y=0.

几类特殊位置的平面方程：

（1）过原点的平面：Ax+By+Cz=0.

（2）平行于坐标轴的平面：

若平面平行于x轴，则必有n⊥i，n·i=0，即A=0，则平面方程为：By+Cz+D=0.

同理可得，平行于y轴的平面方程为：Ax+Cz+D=0；平行于z轴的平面方程为：Ax+By+D=0.

（3）经过坐标轴的平面.

若平面过x轴，或称x轴在平面上，则此平面必然经过坐标原点，故D=0，过x轴的平面方程为：By+Cz=0；同理可得，过y轴的平面方程为：Ax+Cz=0；过z轴的平面方程为：Ax+By=0.

（4）平行于坐标面的平面.(www.daowen.com)

若平面平行于yOz坐标面，则平面的法向量可以取为：n=（1，0，0），从而，平面的方程为：Ax+D=0，同理，平行于xOz面的平面方程为：By+D=0；平行于xOy面的平面方程为：Cz+D=0.

例4 求过点M1（a，0，0），M2（0，b，0），M3（0，0，c）的平面方程（其中abc≠0）（图1-17）.

解 设所求方程为

根据题意有

图1-17

解之得

代入平面方程，有

故

方程（1.9）称为平面的截距式方程.其中，a，b，c依次为平面在x，y，z轴上的截距.

3.平面之间的夹角

（1）两平面的夹角

设有平面π1：A1x+B1y+C1z+D1=0，平面π2：A2x+B2y+C2z+D2=0，如图1-18所示.

则（n1∧n2）=θ或（n1∧n2）=π-θ，从而

（2）两平面垂直、平行的充分必要条件

图1-18

例5 求两平面x-y+2z-6=0和2x+y+z-5=0的夹角.

例6 一平面通过两点M1（1，1，1），M2（0，1，-1）且垂直于平面x+y+z=0，求它的方程.

图1-19

4.点到平面的距离公式

设平面π为：Ax+By+Cz+D=0，P0（x0，y0，z0）是平面外的一点，求P0到平面π的距离.

设P1（x1，y1，z1）是平面上的任意一点，则

公式（1.11）为点P0（x0，y0，z0）到平面Ax+By+Cz+D=0的距离公式.

例7 确定k的值，使平面x+ky-2z-9=0与坐标原点的距离为3.

即原点到平面x±2y-2z-9=0的距离为3.

例8 求过点P1（2，4，0）和P2（0，1，4）且与点M（1，2，1）的距离为1的平面方程.

解 设平面方程为：Ax+By+Cz+D=0，将已知条件代入：

P1（2，4，0）在平面上： 2A+4B+D=0.

P2（0，1，4）在平面上：B+4C+D=0.