§10-4　圆孔夫琅禾费衍射　光学仪器的分辨本领

一、圆孔夫琅禾费衍射

根据讨论过的衍射理论，原则上可以解决任意形状衍射孔的衍射问题。鉴于圆孔衍射的重要实际意义，我们再具体研究一下圆孔衍射。从而对大多数通过透镜会聚成像的光学仪器能有更深入的了解。实际上透镜本身就可视为一个圆孔衍射孔径，实验装置如图10-10所示。

与单缝衍射比较，以圆孔衍射屏替代了单缝衍射屏。从光源S发出的光波经过透镜L1后变成平行光垂直照射到小圆孔K上，圆孔K处的波阵面作为次级波源发射的次级光波经过透镜L2会聚在观察屏E上，呈现出明暗相间的同心圆环条纹，中心是一亮斑，这个衍射图样通常称为艾里斑衍射图样，中心亮斑为艾里斑。

圆孔衍射的强度分布规律也可用振幅矢量法求得。图10-11给出了理论计算结果和实验图形。理论和实验表明衍射圆孔越小，亮斑半径越大，周围的环纹越向外扩展。中心亮斑的强度约占全部衍射光强度的84%；第一级亮纹的强度约占总强度的1.7%；以后各级亮纹所占能量比例迅速下降。艾里斑的边界是第一级暗环（极小值）。第一级暗环所对应的衍射角为θ，圆孔半径R和入射单色光波长之间满足关系式：

即

当θ1甚小时，有sinθ1≈θ1，于是得

其中，d为衍射圆孔的直径，从式（10-6）看出第一暗环的衍射角的大小和d成反比，＆nbsp；d越小，中央亮斑越大；d越大，中央亮斑越小。如果d≫，则衍射角θ近于零，此时艾里斑缩在P₀点，其他各级明、暗环纹也都收缩于P0点，结果在P0点处形成一亮点，即为经过透镜L和L所形成的光源S的像，这时由波动光学到几何光学。

式（10-6）中的θ₁为艾里斑的直径对透镜中心张角的一半，称为艾里斑的半角宽度。2θ₁为艾里斑的角宽度，由几何关系可知：

由此得到艾里斑的直径D、波长、圆孔直径d和透镜焦距f之间的关系为

二、光学仪器的分辨本领(www.daowen.com)

按几何光学，物体通过光学仪器理想成像时，每一物点都有一对应像点。但由于光的衍射，物点的像不是一个几何点，而是一个具有一定大小的亮斑，即艾里斑。如果两个物点距离太近，两个相应的艾里斑就会重叠，此时就不能清楚地分辨出两个物点的像。因此光的衍射现象限制了光学仪器的分辨能力。

实际上靠得很近的两个物点经过透镜后所形成的像是两个衍射图样，像的位置由衍射光强的主极大的位置决定。图10-12给出了分辨两个衍射图样的条件。若两个物点相距非常近，所形成的两个衍射光强主极大大部分重叠在一起[图10-12（a）]，从合光强中将无法分辨出两个物点的存在，这种情况下的像谓之不可分辨的；如果两个物点相距足够远，则所形成的两个衍射光强主极大只有一部分重叠[图10-12（c）]，那么这两个物点所成的像就是可分辨的；如果一个物点的衍射光强的主极大中心刚好落在另一个物点的衍射光的第一级暗环上[图10-12（b）]，这时认为两物点恰好刚能分辨开，这一结论称为瑞利判据。

按瑞利判据，一个衍射的最亮点与另一个衍射图样的第一暗环重叠时，两亮点刚好能分别得开。因此一透镜恰好能分辨的两物点的衍射图样中心之间的距离应等于艾里斑的半径。两物点对透镜中心的张角称为最小分辨角，用δθ表示，它等于艾里斑的半角宽度Δθ。最小分辨角δθ与圆孔衍射图样第一级极小的衍射角θ₁大小相等，如图10-13所示。根据式（10-6）可得

如果两个物点的像对透镜所张的角小于最小分辨角δθ，那么这两个物点就不能分辨得开。人们常用最小分辨角δθ的倒数来定义光学仪器的分辨本领，或称光学分辨率。对透镜有

由上式可知光学仪器的分辨本领R与透镜直径d成正比，与光波的波长成反比。同时它也指出了提高光学仪器分辨本领的途径。例如，在天文观测中为了能分辨清楚遥远的地方对望远镜张角很小的两个星体，总是用直径很大的透镜做望远镜的物镜；在显微镜中为了提高分辨本领，可以用波长较短的紫外线照明。

例10-4　在通常的亮度下，人眼瞳孔直径为3mm，在可见光中人眼感受最灵敏的光是波长550nm的黄绿光。问：

（1）人眼的最小分辨角是多大?

（2）如果在黑板上画两条平行直线，相距2mm，坐在距黑板多远的同学能分辨开?

解　（1）根据式（10-8）可得人眼的最小分辨角为

（2）设人离开黑板的距离为x，平行线间距离为l，两线对人眼的张角为θ≈，若恰能分辨，应有δθ=θ，所以