§4-3　电场力的功　电势

前面从电荷在电场中受到作用力的角度研究了静电场的性质，现在再从电场力做功的情况来研究静电场的性质。

一、电场力的功

空间任何一点的电场，都可看成是由点电荷的电场叠加的结果。因此，研究电场力做功的情况，可以从研究点电荷的电场力做功入手。如图4-16所示，在点电荷q激发的电场中，试验电荷沿任意路径从a点移到b点。在此路径上的c点处取元位移dl，在此微小过程中作用于q₀的电场力所做的元功为

dA=q₀E·dl=q₀Edlcosθ

从图4-16中可以看出：

其中，r为由q到q₀的矢径的长度。于是元功可写成

试验电荷q₀从a移至b点的过程中，电场力做的总功为

式中，r_a和r_b分别为从q到起点a和终点b的距离。上式表明，在点电荷的电场中，电场力对试验电荷q₀所做的功与所经过的路径无关，而只与路径的起点和终点的位置有关。

由电场强度的叠加原理可知，任意电荷系的电场力做的功，都等于各个点电荷的电场力所做的功的代数和，电场力做的功的各个部分都与路径无关。因此，电荷系的电场力做功与路径无关。由此可得出如下结论：试验电荷在任何静电场中移动时，电场力所做的功只与试验电荷的电荷量及路径的起点和终点的位置有关，而与路径无关。由此表明，静电场力与万有引力、弹性力一样也是保守力。

二、静电场的环路定理

由式（4-16）可知，当试验电荷在点电荷的电场中移动一周时，由于起点和终点重合，电场力对它做的功为零。而任意电荷系的电场力做的功，等于各个点电荷的电场力做的功的代数和。因此，当电荷在任意电场中沿闭合回路移动一周时，电场力所做的功也等于零。即

A=∮_Lq₀E·dl=0

因为q0≠0，所以有

∮_LE·dl=0

上式表明，在静电场中，电场强度E沿任意闭合路径的线积分为零。E沿任意闭合路径的线积分又叫E的环流，故也可表述为，在静电场中电场强度E的环流为零，称为静电场的环路定理。它与高斯定理一样，也是表述静电场性质的一个基本定理。

三、电势能

在力学中，为了反映保守力做功与路径无关的特点，引入了势能概念。静电场力也是保守力，因此也可引进相应的势能概念，称为电势能。电势能是属于电荷—电场系统的。

保守力做功消耗相应的势能，该功的量值等于势能增量的负值。如果用E_pa和E_pb分别表示试验电荷q₀在电场中a点和b点的电势能，则q₀由a点移到b点的过程中，静电场力对它做的功为

A_ab=∫^b_aq₀E·dl=-（E_pb-E_pa）

在国际单位制中，电势能的单位是焦耳，符号为J。

电势能和重力势能一样，也是一个相对的量。要确定电荷在电场中某一点电势能的值，也必须选择一个电势能为零的参考点。参考点的选择是任意的，根据处理问题的方便选取。这样，电荷q0在电场中a点的电势能为

E_pa=A_a=∫^零势能点_aq₀E·dl

即，电荷在静电场中的电势能，在量值上等于把电荷从a点移到电势能零点的过程中电场力所做的功。当场源电荷局限在有限大小的空间内时，常把电势能零点选在无穷远处，则q₀在a点的电势能为

E_pa=∫^∞_aq₀E·dl

当规定无穷远处电势能为零时，试验电荷q₀在电场中任一点a的电势能在数值上等于把q₀由a点移到无穷远处，电场力所做的功。

四、电势

电势能属于电荷与电场组成的系统，其量值与电场、电荷均有关系，故不能用它来描述电场的性质。但是，电荷q₀在电场中某点的电势能与q₀电荷量的比值则与电荷无关，而仅由电场的性质决定。我们把这一比值定义为电场在该点的电势，用V表示。由（4-19a）式可知，电场中a点的电势为

即，电场中某点的电势，其数值等于单位正电荷在该点所具有的电势能。也就是把单位正电荷从该点移至电势零点电场力做的功。电势是从能量角度来描述电场基本性质的物理量。在场源电荷分布在有限空间的情况下，电场中a点的电势即可写成

V_a=∫^∞_aE·dl

电场中任意两点a和b的电势之差Va-Vb，称为a、b两点的电势差，也叫做a、b两点间的电压。由式（4-20b）得

U_ab=V_a-V_b=∫^b_aE·dl

上式表明，电场中a、b两点间的电势差在数值上等于把单位正电荷从a点移至b点电场力所做的功。

由电势定义式（4-20a）知，电势能等于电势与电荷量的乘积，E_pa=q₀V_a，E_pb=q₀V_b，由式（4-18）可得

A_ab=q₀（V_a-V_b）(www.daowen.com)

在电场中，将点电荷q₀从a点移到b点的过程中，电场力做的功等于被移动的电荷q₀的电荷量与a、b两点的电势差的乘积。

在国际单位制中，电势的单位为伏特，用V表示。

1V=1J/C

五、电势的计算

已知条件不同，计算电势的方法也不相同。现在我们介绍根据场源电荷来计算其电场的电势。

1.点电荷电场的电势

设在点电荷q的电场中，点a距点电荷q的距离为r，若选无限远处电势为零，并沿径矢r积分。则由式（4-20b）可得

点电荷周围任一点的电势与该点到点电荷q的距离成反比，若q为正的，各点的电势均为正的，离点电荷越远处的电势越低，在无限远处电势为零；若q为负的，各点的电势均为负的，离点电荷越远处的电势越高，在无限远处电势为零，达最大。

2.电势的叠加原理

在点电荷系q₁、q₂、……q_n的电场中，任意点的电场强度E，等于各个点电荷单独存在时，在该点电场强度的矢量和，即

E=E₁+E₂+……+E_n

根据式（4-20b）可得电场中a点电势为

V_a=∫^∞_aE·dl=∫^∞_aE₁·dl+∫^∞_aE₂·dl+……+∫^∞_aE_n·dl

=V₁+V₂+……+V_n

式中，V₁、V₂、……V_n分别为q₁、q₂、……q_n独立激发的电场中a点的电势，由式（4-23），上式可写成

上式表明，点电荷系所激发的电场中某点的电势，等于各点电荷单独存在时在该点的电势的代数和。这一结论叫做静电场的电势叠加原理，式（4-24）是它的数学表达式。

对于电荷连续分布的带电体，可将其视为无穷多个电荷元dq的集合，每个电荷元都可视为点电荷，点a的电势为这些电荷元电势的叠加，即

例4-8　计算电偶极子电场中任一点的电势。

解　设电偶极子如图4-17所示放置，由式（4-24）可知电偶极子电场中任一点P的电势为

由图可知

因此

由于r＞＞l，所以P点的电势可写为

例4-9　如图4-18所示，正电荷q均匀地分布在半径为R的细圆环上。计算在环的轴线上与环心O相距为x处点P的电势。

解　在圆环上电荷元dq=dl，=为电荷线密度。由式（4-23）可知，dq在P点激发的电势为

由于圆环上各电荷元到P点的距离相同，则P点的电势为

当x=0时，V=为环心O点的电势。

当x＞＞R时，V=。即P点在无限远处时，带电圆环则可以近似视为点电荷。

例4-10　求均匀带电球面激发的电势。已知球面半径R，带电荷量Q（Q＞0）。

解　本题可以用式（4-25）来计算其电势。但对于本题这种具体情况，先求出场强再通过场强积分，即根据式（4-20b）来计算电势将更为方便。

由高斯定理可知，带电球面内外的电场强度分布（图4-13）为

E_内=0　　（r＜R）

根据式（4-20b），取球面径向为积分路径，则在球面外，距球心O为r处的电势为

在球面内，距球心O为r处的电势为

显然，球面内与球面上各点电势相等，球面外各点的电势与把球面上的电荷集中于球心时的点电荷电势一样，其V-r关系如图4-19所示。