§2-2　功能　机械能守恒定律

应用牛顿运动定律，原则上可以求解出任何物体的运动规律。在研究物体的运动中，从作用在物体上力的时空积累效应出发，直接应用有关的运动定理来处理问题，不仅提供了一套解决动力学问题的辅助方法，常常使问题的解决变得十分简便；而且，由于在运动过程中的不变量存在，在更深远的意义上，给出关于物质的各种运动形式相互转化的很多信息和规律。

本节讨论力的空间积累效应，研究功和能的关系。

一、功功率

一般来说，物体在力的持续作用下会产生位移。为简单起见，我们首先讨论在恒力作用下物体做直线运动的情形。设在恒力F作用下，物体的位移是Δr（图2-9）。我们定义力对物体做的功为A，则

式中，θ为力F和位移Δr间的夹角。由于Fcosθ为力沿质点位移方向的分量。因此我们说，力对物体做的功，等于力沿物体位移方向的分量和物体位移大小的乘积，即力F和位移Δr的标积。它表示了力的空间累积作用。功是一个标量，按照这个定义，功可正、可负，且正负由F和Δr间的夹角θ决定。当0≤θ＜时，A＞0，力对物体做正功；当＜θ≤π时，A＜0，力对物体做负功，或物体抵抗这个力做功；而当θ=时，A=0，力对物体不做功。另外，因为位移的值与参考系有关，所以功的值是相对量。

在图2-10中，以力F拉重物沿水平地面运动，重物共受四个外力，其中拉力F做正功；滑动摩擦力f和位移方向相反，夹角为π，做负功；重力等于mg，它和地面对重物的支持力N与位移方向垂直，夹角为，不做功。

在一般情况下，物体沿曲线运动，而且在运动过程中，作用在物体上的力的大小和方向都可能在不断改变。如图2-11所示，一个质点沿曲线由a点运动到b点，要计算力F在由a到b的路径L上对质点做的功，可把曲线的路径L分成许多无穷小的段落，计算出每一段落上力F做的元功，再对整个路径上所有的元功求和。任取一小段，其位移为dr，由于dr为无穷小，所以在这段路径上，F可看做恒力，而且=ds（ds为无穷小段落的元路程）。按照功的定义，力F在这段路程上的元功为

dA=F·dr=Fcosθds

对所有元功求和，实际上变成了积分。所以质点沿曲线路径L由a点到b点的过程中，力F所做的功为

A=∫^b_adA=∫^b_aF·dr=∫^b_aFcosθds

如果质点沿路径L从a到b运动时，同时受到几个力F₁、F₂、F₃、……F_n的作用，则合力F的功为

A=∫^b_aF·dr=∫^b_a（F1+F2+……+Fn）·dr

=∫^b_aF₁·dr+∫^b_aF₂·dr+……+∫^b_aF_n·dr

=A₁+A₂+……+A_n

即合力的功等于各分力功的代数和。

在国际单位制中，功的单位是焦耳，用符号J来表示，1J=1N·m

在功的概念中，没有考虑时间的因素。但在有些问题中，我们常常关心做功的效率，即在单位时间内做多少功?在单位时间内所做的功称为功率，用P表示。若在时间间隔dt内，做功dA，则功率可表示为

因dA=F·dr，而=υ，所以有

P=F·υ

功率的单位是瓦特，用W表示，1W=1J/s

通常动力机械都标出它的最大输出功率。例如，各种类型的汽车发动机，所提供的最大功率是一定的。因此，负荷越大，可达到的速率就越小；负荷越小，达到的速率就可以越大。在一些情况下，我们可以根据实际情况，主动调整力和速度之间的关系。例如，用刨床加工工件时，如果进刀量较小，则可以使刀的运动速度较快，如果进刀量较大，则只能使刀的运动速度较慢。

例2-5　如图2-12所示，质量为m的物体在粗糙水平面上沿半径为R的半圆弧形轨道L₁由直径的一端a运动到另一端b。设动摩擦因数为μ，计算摩擦力做的功。如果物体运动的轨道是沿圆的直径L₂，从a到b端，摩擦力做的功又是多少?

解　物体在运动轨道上任一点的摩擦力f都等于μmg，方向和运动方向相反。在半圆弧轨道L₁上摩擦力做的功为

沿直径L₂上摩擦力做的功为

同样是从a到b点，路径不相同，摩擦力做的功也不同。

例2-6　如图2-13所示，固定质点的质量为M，运动质点的质量为m，它相对于固定质点的位矢为r，运动质点由位置a（位矢为r_a）沿某一路径到达位置b（位矢为rb）。求引力所做的功。

解　质点在运动过程中所受M引力的大小和方向都在改变，在任一位置r，质点所受的引力为

式中，为位矢r方向的单位矢量，负号表示力的方向和r的方向相反。运动质点在任一元位移dr的过程中，引力所做的元功为

由于

因此dA可写成

所以，质点由a到b的运动过程中，万有引力所做的功为

说明万有引力的功只和运动质点的始、末位置有关，和具体的路径无关。

下面我们讨论弹性力做的功。

例2-7　如图2-14所示，一劲度系数为k的弹簧，一端固定，另一端系一质量为m的物体，物体沿水平平面无摩擦的滑动。求弹性力所做的功。

解　取弹簧未发生形变时物体的位置为坐标原点O，即物体在这个位置处于力的平衡状态。当物体沿x方向运动到任一位置x时，弹簧的伸长量为x（当x为负值时表示压缩量）。在弹性限度内，作用于物体上的力为

F=-kx

式中负号表示弹性力的方向总是指向物体的平衡位置，当物体由位置a运动到b时，弹性力对它做的功为

这个结果表明，弹性力的功也只取决于物体的始、末位置而和路径无关。

二、质点动能和动能定理

现在我们看力对物体做功产生的效果，即物体的运动状态发生怎样的变化。如图2-15所示，设物体在力F的作用下做曲线运动，在起点a处初速度为υ₀，在终点b处的末速度为υ，合力F在该过程中所做的功为

A=∫^b_adA=∫^b_aFcosθds

根据牛顿第二定律，力的切向分量为

由于切向加速度为

因而Fcosθds=mds=mds=mvdv，所以合力所做的功为

我们称mv2为物体的动能，用符号E_k表示，即

式（2-10）中右边第一项为物体的末动能Ek，第二项为物体的初动能E_k0，于是式（2-10）可以写成

A=E_k-E_k0

上式说明，合外力对物体所做的功等于物体动能的增量，这个结论称为动能定理。

动能是描述物体运动状态的一个重要物理量，是能量的一种重要形式。动能是标量，且恒为正。动能定理是基于牛顿运动定律得出的，所以只适于惯性系。由于在不同的惯性系中，物体的位移和速度各不相同。因此，功和动能都依赖惯性系的选取。在国际单位制中，能量的单位和功一样，也是焦耳（J）。

例2-8　质量为m=10g的子弹，以v₀=400m/s的速度水平射穿一固定的木板，子弹穿出木板后，速度为v=100m/s，求木板阻力对子弹所做的功。

解　由于木板阻力是未知的，子弹的位移也是未知的，因此，不能直接用功的定义求功。但子弹的初、末速度是已知的，可以用动能定理解本题。

以子弹为研究对象，对它应用动能定理，得

其中，A为合外力所做的功。子弹共受到三个力（图2-16）：重力mg、木板的正压力N和木板的阻力f。因重力mg和N都垂直于位移方向，不做功。只有阻力f做功。所以，合外力的功即为阻力f的功：

通过上述结果得知，阻力做负功，表明子弹的速度减小了，动能减小了，即子弹抵抗外力做功。

三、保守力势能

1.保守力

我们曾经指出，在一般情况下，物体由某一确定位置a经过不同的路径到达位置b，力对它做的功是不同的；但前面对功的计算中，我们发现万有引力、弹性力做功只与物体的始、末位置有关，与物体所经历的路径无关。大家熟悉的重力做功，也具有这样的性质。

质量为m的物体在重力作用下，如图2-17所示，由初始位置a沿acb曲线运动到末位置b, a点和b点离地面的高度分别为h_a和h_b，在轨道上任一点c，重力在无穷小位移dr上所做的功为

所以有

A_ab=∫^b_aF·dr=∫^b_amgcosθds

从图2-17可以看出，cosθds=-dh，则(www.daowen.com)

A_ab=∫b_amg（-dh）=-mg∫b_adh=mg（h_a-h_b）

式（2-13）表明，重力的功也只与物体的始、末位置有关。如果物体的a、b位置不变，只是由a到b沿另一路径。例如，图中的adb路径，重力的功仍等于mg（h_a-h_b）。表明重力对物体所做的功与物体所经历的路径无关。

综上所述，在自然界中有一类力，它们都具有和重力、万有引力、弹性力共同的特点，即它们所做的功只和运动物体的始、末位置有关，与物体所经历的路径无关。我们把具有这种特性的力称为保守力。凡不满足这种特性的力，就是非保守力。非保守力做功和物体具体经历的路径有关。摩擦力是非保守力。

由于保守力做功与路径无关，必然得出结论：保守力沿任意闭合路径一周所做的功为零，其数学表述为

∮F·dr=0

这一结论可以看做是保守力的另一种定义，显然保守力的两种定义是完全等价的。

2.势能

从上面关于保守力做功的讨论我们知道，运动的物体不论沿什么路径从位置a到位置b，保守力所做的功总是相同的，即保守力做的功由物体的位置a和位置b决定。反之，当物体由b无论沿什么路径到达a时，保守力做的功也总是相同的，且等于物体由a到b保守力做功的负值。在保守力作用下，物体从a状态运动到b状态时，保守力所做的功为一确定值。为了描述物体在不同位置状态之间的差别，我们引入势能的概念，把与物体位置有关的能量称为物体的势能，用E_p表示。并令在任意两位置之间的势能差等于保守力的功。例如，物体在位置a时，具有势能E_pa，在位置b时具有势能E_pb，若物体由a运动到b，则在该运动过程中，保守力做的功为A_ab=E_pa-E_pb。按照习惯，把末状态的势能减去初状态的势能称为势能的增量ΔE_p=E_pb-E_pa，则保守力做的功为

A_ab=E_pa-E_pb=-ΔE_p

式（2-15）的意义是保守力的功等于势能增量的负值。按照这个定义，保守力所做的功仅给出了物体在这两个位置之间的势能差，为了确定物体在空间某一点的势能值，只有选定了势能的零点，规定物体在任一位置的势能，等于把物体由该位置移到势能零点保守力所做的功。势能零点的选择是任意的，根据问题的方便而定。对于不同的选择，同一点的势能不同，即势能的值是相对的，但任意两点间的势能差却总是一定的，与势能零点的选择无关。势能概念的建立是以物体处在保守力场的事实为依据的，由于保守力做功和路径无关的特性，才存在仅由位置决定的势能函数。对于非保守力，因不具有这种特性，所以不能引入势能的概念。势能的单位和功相同，在国际单位制中为焦耳。

在力学中常见的势能有：万有引力势能、重力势能和弹性势能。由对应的三种力做功的讨论可知，三种势能的表达式为

引力势能E_p=-G，势能零点为r=∞处。

重力势能E_p=mgh，势能零点为h=0处。

弹性势能E_p=kx²，势能零点为x=0处。

四、功能原理机械能守恒定律

1.质点系的动能定理

如果研究的对象涉及多个质点，称为质点系统。不能抽象为质点的物体，也可视为由无限多个质点组成的系统。系统所受的力可分为内力和外力，其中，系统内各质点间的相互作用力称为内力；系统外的物体对系统内的任意质点的作用力称为外力。现在考察系统内第i个质点，设F_i为系统内第i个质点所受的合外力，f_ij为系统内j、i质点间的相互作用内力，则第i质点所受合力为F_i+f_ij，对i质点运用动能定理式（2-12）有

然后对所有质点求和，整个质点系的动能的总增量为

其中，E_k=E_ki=m_iv²_i为系统的总动能。式（2-16）便是质点系动能定理的数学表达式。就是说，质点系的动能的增量等于质点系的所有外力和内力做功的总和，即

A_外+A_内=E_kb-E_ka

这一结论就是质点系的动能定理。

对式（2-16）具体实施求解时，由于质点系内质点位移dr_i各不相同，必须先求每一力的功，再对这些功求和。

2.功能原理与机械能守恒定律

如果系统内质点间的相互作用力既有保守力也有非保守力，我们可以进一步将质点系的动能定理式（2-17）中内力的功A内分解为

A_内=A^保_内+A^非_内

由式（2-15）知道，保守力的功等于相应势能增量的负值，即

A^保_内=ΔE_p=-（E_pb-E_pa）

上式代入式（2-17），得

A_外+A^非_内=（E_kb+E_pb）-（E_ka+E_pa）

系统的动能和势能之和称为系统的机械能，用E=E_k+E_p表示。系统的机械运动状态，由系统内各质点的速度和各质点间的相对位置决定，一定的速度决定了一定的动能，一定的相对位置决定了一定的势能。因而，当系统处于一定的机械运动状态时，就具有一定的动能和势能，也就是具有一定的机械能。以Ea、Eb分别表示系统初态和末态的机械能，则

A_外+A^非_内=E_b-E_a

上式表明，质点系在运动过程中，机械能的增量等于外力和非保守内力做功的总和，这称为系统的功能原理。

从功能原理看出，外力做功和非保守内力做功都可以引起系统机械能的变化，外力的功是外界的能量和系统的机械能之间的传递和转化。当A_外＞0时，则有能量传入系统使系统的机械能增加；当A_外＜0时，则外界从系统取走能量使系统机械能减少。系统的非保守内力的功是系统内部发生了机械能与其他能量的转换，当A^非_内＞0时，是其他形式的能量转化为机械能；当A^非_内＜0时，是机械能转化为其他形式的能量。

质点系的动能定理和功能原理都给出了系统能量的改变和功之间的关系，动能定理给出的是动能的改变和功的关系，应当把所有的功都计算在内；而功能原理给出的是机械能的改变和功的关系，由于机械能中势能的改变已经反映了保守内力的功，因而只需计算其非保守内力的功。如果A非内=0，即非保守内力不做功，这样的系统称为保守系统，这时

A_外=E_b-E_a

如果再有A外=0，即外力也不做功，系统成为孤立系统，则

E_b=E_a

或

E=E_k+E_p=恒量

这表明，当外力和非保守内力都不做功或它们所做的总功为零时，则系统内各质点的动能和势能可以相互转换，但系统的机械能保持不变。这便是机械能守恒定律。

虽然在力学范围内，所涉及的能量仅只有动能和势能，但系统内有非保守力做功，则系统的机械能必然发生变化。在机械能发生变化的同时，一定伴随有等值其他形式的能量的变化，如热能、电能、原子能和化学能等。综合各种现象，人们从大量事实中总结出了更为普遍的能量守恒定律：一个不受外界作用的孤立系统，能量可以由一种形式转变为另一种形式，但系统的总能量保持不变。

例2-9　如图2-18所示，一个质量m=2kg的物体，沿半径R=4m的圆弧形轨道从a点由静止开始滑到b点时，速率v=6m/s。求物体从a点到b点的过程中摩擦力所做的功。

解　由于物体在下滑过程中，摩擦力是变力。如果先求出f，再由摩擦力的定义求摩擦力的功，计算起来比较复杂，但应用功能原理或动能定理，求摩擦力做的功就比较容易了。选物体m和地球作为系统，物体在下滑过程中受的外力有轨道对它的正压力N，方向垂直于轨道指向圆心；还有轨道对它的摩擦力f，方向沿轨道切线方向和运动方向相反。这两个力都是非保守力。所受保守内力有重力mg，没有非保守内力。根据功能原理有

A_外+A^非_内=（E_k+E_p）-（E_k0+E_p0）

由于N垂直于运动方向，所以A_N=0，则

A_外=A_N+A_f=A_f

由于系统没有非保守内力，所以A^非_内=0，物体由静止开始下滑，初动能E_k0=0，末动能E_k=mv²，选物体在b点处所在水平面上的重力势能为零，则在a点处的动能和势能为E_k0=0，E_p0=mgR，代入上式得

A_f=mv²-mgR=-42.4J

也可以用质点系的动能定理求解，选物体m和地球作为系统，受力情况如上所述，由动能定理有

A_外+A_内=E_k-E_k0

按照前面的分析，A_外=A_f，A_内=mgR，所以有

例2-10　如图2-19所示，在半径为R的光滑半球面顶点处一质量为m的物体由静止开始下滑，半球面固定不动。问：当θ_c角多大时，物体开始脱离半球面?此时物体的速率v为多大?

解　物体下滑受到两个力，一个是重力mg，一个是球面对它的正压力N，因N和物体的运动方向垂直，不做功。选物体和地球作为系统，A_外=0，而mg是保守内力，所以A^非_内=0，因而系统机械能守恒。利用机械能守恒定律，求得物体下滑过程中任一位置处的v和θ的关系。取地面为重力势能零点，则有

物体是否脱离球面和N有关，在下滑过程中，N是个变力，按照牛顿第二定律的投影式有

把（1）代入（2），得

N=mgcosθ-2mg（1-cosθ）

上式表明，N值随下滑过程中θ增大而减小。当θ增至某值时，物体和球面不再相互压紧，设此时θ=θ_c，由（2）式得mgcosθ_c=m，这表明重力的法向分量已恰好等于物体这时做圆周运动的向心力，由（3）式得

N=0时，

则

应用机械能守恒定律解题的步骤可归纳为五步：选系统，明过程，分析力，审条件，列方程。