有限单元法（Finite Element Analysis，FEA）是随电子计算机而发展起来的一种有效的数值仿真技术。FEA应用范围相当广泛，几乎所有的连续介质和场问题都得到了应用。它的基本思想是将一个连续的求解域离散化，即将连续体划分为有限个互不重叠但相互连接的单元。单元之间通过节点连接，单元内的节点未知量可通过选定的函数关系插值求得。其求解问题的基本步骤归纳如下：

（1）将一个表示结构或连续体的求解域离散为若干个单元，并通过它们边界上的节点相互连接成为组合体。

（2）用每个单元内所假设的近似函数分片地表示全求解域内待求的未知场变量。而每个单元内的近似函数由未知场函数在各个节点上的数值和与其对应的插值函数来表达。由于在连接相邻单元的节点上，场函数应具有相同的数值，因而将它们用作数值求解的基本未知量。这样一来，求解原来待求场函数的无穷多自由度问题就转换为求解场函数节点值的有限自由度问题。

（3）通过和原问题数学模型等效的变分原理或加权余量法，建立求解基本未知量的代数方程组或微分方程组，采用适当的数值计算方法求解，可求得各节点的函数值。

（一）平面刚架有限元

杆系结构是工程中应用较为广泛的结构体系，包括平面或空间的梁、桁架、刚架、拱等。平面刚架有限元是指杆件的连接点均为刚性节点的平面杆系结构。在建筑工程中通常将立柱（竖直杆）和横梁（水平杆）组成的刚架结构称为框架。而在实际的框架结构中，有可能部分连接梁、柱的节点为铰节点，但从受力特点考虑，仍然将它看作刚架类型。

作用于平面刚架上的荷载，有直接作用在节点上的集中力或集中力矩，也有沿着杆件的分布力。由于各杆件是刚性节点连接，在荷载作用下各杆件一般会产生轴力、剪力、弯矩三种内力以及相应的三种变形，即沿着轴线方向的轴向变形、垂直于轴线的剪切变形、以及杆件截面发生转动的弯曲变形。

1.局部坐标系下的单元刚度矩阵

根据刚架受力变形的特点，平面刚架单元的杆系位移向量和杆端力向量可表示如下：

由小位移假定，我们可以忽略轴向受力状态和弯曲受力状态之间的相互影响，分别推导轴向变形和弯曲变形的刚度方程。

将上式写成矩阵形式，就得到平面刚架单元的刚度方程：

简写为

式中

称为平面刚架单元在局部坐标系中的单元刚度矩阵。

2.整体坐标系下的单元刚度矩阵

为了建立平面刚架的整体平衡方程，必须把局部坐标系下单元刚度矩阵和节点力向量转换到整体坐标系下，而为了计算单元在局部坐标系下的杆端力，又必须把单元在整体下的位移转换到局部坐标系下。

将以上式子综合起来，写成矩阵形式，得到平面刚架单元杆端力的坐标转换关系：

或简写为

其中

显然[T]是个正交矩阵。

3.整体平衡方程和单元杆端力

结构的整体平衡方程仍然用单元集成法形成。结构整体平衡方程中的总荷载向量一般由两部分组成，一部分是单元等效节点荷载按单元集成法组合而得，另一部分是直接作用于节点上的荷载。整体平衡方程写成下式：

式中：[K]——结构的总刚度矩阵；

　　　{δ}——结构的节点位移向量；

　　　[F]——由单元等效节点荷载向量组集而来；

　　　{Fd}——直接作用于结构节点上的节点力向量。

（二）连续介质有限单元法

由于等参单元精度较好，目前得到了广泛的使用。在平面问题中，多采用四节点或八节点等参元。下面以四节点等参元为例说明其位移模式。

（1）将自然坐标s-t附在单元上，如图2-6（a）所示，坐标的原点在单元的中心。s和t轴不需要与x或y轴正交，也不需要与之平行。s-t坐标的轴取向如下：使得四边形的四个角点和边界限制在+1或-1上。这种取向可以发挥一般数值积分的优点。

图2-6　四节点等参元

图2-6（a）在s-t坐标系中的线性正方形单元（b）映射在x-y坐标系中的四边形的正方形单元，四边形的大小和形状由八个节点坐标x1，y1，…，y4来确定。考虑有8个自由度u1，v1，…，u4和v4的四边形单元，它们与总体x和y的方向相关联。其位移模式和坐标的映射有相同的插值函数，形函数为：

用上面这个形函数把图2-6（a）中在等参数坐标s和t下的正方形映射为在x和y坐标中图2-6（b）所示的四边形，得到如下坐标映射关系：

用形函数来定义单元中的位移函数：

（2）几何方程。为了构造单元刚度矩阵，必须确定应变，而应变是用位移x和y坐标求导数来定义的。位移是s和t的函数。现在要确定（∂f/∂x）和（∂f/∂y），其中f是表达位移函数u或v的函数，而u和v是用s和t来表示的，由于不能把s和t直接表示为x和y的函数，所以需要应用微分的连锁规则。当f作为x和y的函数时，根据连锁规则有：

由式（2-44）可知方程中（∂f/∂s）、（∂f/∂t）、（∂x/∂s）、（∂y/∂s）、（∂x/∂t）和（∂y/∂t）都是已知的，应用克莱姆法则可以从上式中求解出（∂f/∂x）和（∂f/∂y），计算行列式如下：

式中，分母中的行列式是雅可比矩阵J的行列式，雅可比矩阵由下式给出

根据单元的位移模式，平面问题的几何方程可表示为：

式中：{ε}——单元应变矢量；

　　　{δ}e——单元位移矢量；

　　　[B]——单元应变矩阵。

中间的矩阵是算子矩阵，即∂（）/∂x和∂（）/∂y表示任何变量的偏导数，而将变量放在括号内。根据式（2-45），计算分子中的行列式，可以得到：

从而得到自然坐标下表示的应变：

将u和v代入上式，可得矩阵[B]：(www.daowen.com)

（3）本构方程。根据单元的本构方程可得到：

式中：{σ}——应力矢量；

　　　[D]——弹性矩阵。

　　　（4）单元刚度矩阵。根据虚功原理，可以得到：

式中：{F}e——单元节点力矩阵；

　　　[K]e——单元刚度矩阵，且[K]e有：

式中t为单元厚度，在平面应变问题中取t=1。其中，积分采用三点高斯积分。

（5）有限元求解。按照所有的节点平衡条件，围绕各节点单元节点力和节点荷载项平衡，即有：

式中：[K]——整体刚度矩阵，由各单元[K]e扩大后叠加而成；

　　　{R}——整体荷载向量，由各单元{R}e扩大后叠加而成；

　　　{δ}——整体节点位移向量。