若将深水区看作无限水深，则深海可以等效为空气-海水两层模型，可建立空气-海水两层模型下时谐偶极子水下电磁场数学解析式，通过解析式各组成项分解和物理意义分析，得到一般性的分布规律和传播特性。

空气-海水两层模型如图2.2所示，电偶极子位于海水中，以空气-海水界面作为z=0的平面，z＜0的上半空间是空气层，而海水则占据下半空间。空气和海水的电磁参数分别为μ0、ε0、σ0及μ1、ε1、σ1，其中μ0=μ1=μ，σ0=0。

图2.2　空气-海水两层模型示意图

图2.3　两层模型中的x方向时谐水平电偶极子

2．2．1．1　深海环境电偶极子响应

1）x方向水平电偶极子

假定海洋环境为线性、均匀、各向同性媒质。设x Oy平面与空气-海水交界面重合，z轴垂直向下。时谐电偶极子沿x轴正向布于海水中，坐标为（0，0，h），测点坐标为（x，y，z），偶极子电偶矩为P，海水电导率为σ1（图2.3）。假定谐变时间因子为eiωt，其中ω为圆频率。为了满足边界条件，水平电偶极子不仅有与电偶极子同方向的矢量磁位，还有与边界面相垂直的矢量磁位，即An=i Anx+k Anz（n=0，1）。因此对于两层模型，由式（2.3）可得空气和海水中矢量磁位分别满足的约束方程：

则矢量位An在空气、海水满足如下微分方程：

其通解为

其中，=-iμωσ1。

矢量位的x分量满足边界条件：

矢量位z分量满足边界条件：

联立边界条件求解矢量位约束方程，求解矢量位A：

其中，

令然后对矢量位A的表达式进行偏微分，可得海水中磁场三分量表达式：

对海水中矢量位A进行偏微分可以得到海水中电场三分量：

2）y方向水平电偶极子

经过坐标转换，y方向水平直流电偶极子电场响应公式可以用x方向水平直流电偶极子电场响应公式来推导：

式中　x′、y′、z′——x方向直角坐标系正交三分量；

x、y、z——y方向直角坐标系正交三分量，其表示y方向水平直流电偶极子是经过x方向水平直流电偶极子逆时针旋转90°获得。

3）垂直电偶极子

时谐电偶极子沿z轴正向布于海水中，坐标为（0，0，h），测点坐标为（x，y，z），偶极子电偶矩为P，海水电导率为σ1（图2.4）。

从电偶极子第m层（m=0，1）的频率域麦克斯韦方程组出发，引入矢量位Am和标量Um，有

图2.4　空气-海水两层模型示意图

利用罗伦兹条件

及复波数

对于z方向电偶极子，Am只有Amz分量，而Amx=0，Amy=0，则矢量位Am在空气、海水和海床层满足如下微分方程：

引入相应边界条件：

则空气-海水两层模型下，垂直电偶极子在海水中产生的矢量位A1z数学表达式如下所示：

其中，

根据式（2.26）中矢量位与磁场的关系，对海水中矢量位A进行偏微分，可以得到海水中磁场三分量：

根据式（2.26）中矢量位与电场的关系，对海水中矢量位A进行偏微分，可以得到海水中电场三分量：

2．2．1．2　深海环境磁偶极子响应

磁性激励源在导电介质中产生涡流电流，其特点是引入磁性源的矢量位F，即取

无源区域频率域麦克斯韦方程为

磁性源区域频率域麦克斯韦方程为

式中　——磁流密度，=iμωMs，Ms为源磁流密度，Ms=I Sδ（r）。(www.daowen.com)

基于洛伦兹条件，有源区域可以简化为

其中，k2=-iμω（σ+iεω）。

1）垂直磁偶极子

研究的磁偶极子为垂直磁偶极子，方向指向z轴正向，如图2.5所示。

图2.5　两层模型中的交变垂直磁偶极子

设垂直磁偶极子位于海水中点（0，0，h）处，垂直磁偶极子的矢量位只存在垂直分量，由于感应电流都位于水平面内，故电磁场只有Eφ、Hz和Hr分量。因此对于两层模型，由式（2.29）可得空气、海水中矢量位分别满足的约束方程：

其通解为

其中，。

满足的边界条件为

联立边界条件求解矢量位约束方程，可得矢量表达式：

对海水中矢量位式（2.30）进行偏微分，可以得到磁场三分量：

经过简化，得到磁场三分量表达式：

对海水中矢量位式（2.30）进行偏微分，可以得到电场三分量：

图2.6　两层模型中的交变水平磁偶极子

2）水平磁偶极子

当场源为水平磁偶极子，方向指向x轴正向，如图2.6所示。

设水平磁偶极子位于海水中点（0，0，h）处，水平磁偶极子的矢量位F只有Fx和Fz分量，而Fy=0，即F=i Fx+k Fz。因此对于两层模型，由式（2.29）可得空气、海水中矢量位分别满足的约束方程：

矢量位x分量：

矢量位z分量：

其通解为

其中，=-iμω（σ1+iε1ω）。

由于Fαx→0，Fαz→0，｜z｜→∞，α=0，1，则有

在海面上x分量满足的边界条件为

把结果式（2.33）代入通解，再代入边界条件式（2.34）和式（2.35）中，得

其中，。

求解式（2.36）可得

把系数代入通解中，根据索莫菲尔德积分公式可得

z分量满足的边界条件为

把结果式（2.33）代入通解，再代入边界条件式（2.37）和式（2.38）中，得

联立式（2.39）和式（2.40），可得

把系数代入通解中，根据索莫菲尔德积分公式：

对海水中矢量位F进行偏微分，可以得到磁场三分量：

其中，

对海水中矢量位F进行偏微分，可以得到电场三分量：