渐变刚度钢板弹簧可以有效地解决汽车装载质量变化引起悬架偏频变化过大的矛盾。特别是变截面副簧的渐变刚度簧，更是一种较为理想的形式。然而，至今尚未见有副簧为变截面的渐变刚度钢板弹簧的设计计算方法，而且在负荷-变形特性这一基本问题上，仍存在着理论上的混乱。

本书的目的在于研究和解决上述存在的问题，建立普遍实用的设计计算方法。

1.渐变刚度簧的计算方法

渐变刚度簧的副簧包括等截面以及直线型或抛物线型变截面多种形式，而且副簧可以是平直的，也可以是上下弯曲的。由于目前国内对40mm以下厚度的板材可以有效地进行热处理，所以多片副簧不予考虑。

（1）基本假设问题

渐变刚度簧的主副簧之间的受力关系是考虑问题的基础。要了解这一关系，就必须了解主副簧接触点的变形统一条件，如图3-51和图3-52所示。

主副簧在接触点处具有共同的坐标。除此之外，尚有两种假设：一是在接触点处，主副簧具有共同的斜率（一阶导数法）；二是具有共同的曲率（二阶导数法）。利用共曲率假设建立的等截面渐变刚度簧的计算方法，在不少手册和书籍上都可见到，但计算结果却与实际相差甚远。本书认为：共同曲率假设本身依然是正确的。问题在于利用假设时，却简单地认为只要在外力作用下，主簧末片的曲率变到与副簧的原始曲率一致时便是平衡的最终状态。由此，便得出了如下错误的结论公式：

式中 I_n——主簧末片的惯性矩；

E——抗弯模量。

上式错误的根据如下：主簧在外力的作用下，其末片逐渐变形，横坐标为x₀的点（暂不考虑x₀=0的点）逐渐向副簧靠近。当二者刚一接触，其接触点处就具有了共同的斜率，同时也具有了共同的曲率，即副簧的原始曲率。此时，主簧末片背面的曲率改变量为。上述错误结论公式就是以此为根据建立的。

图3-51 主副簧受力关系

图3-52 主副簧的形状函数

然而，主副簧的接触，并不意味着接触点处变形的终止。随着外力的加大，副簧将随主簧一起变形，直至接触点推移。从刚一接触到向外推移的全过程中的任一时刻，主副簧均具有不断变化的共同斜率和曲率。主簧的最终曲率改变量应是主副簧初始形状函数y_m（x）和y_a（x）的曲率改变量的差，可表示为

至于板簧处于自由状态下的零点，那就更不足为例。因为所研究的不是自由状态，而是受力变形状态。在零点，主副簧一开始就已接触，二者已具有了一个共同的斜率。当外力作用于主簧且不断加大时，它们始终具有这个不变的共同斜率，但主簧的曲率却在不断地改变，直至降到副簧的原始曲率。此时，作用于主簧末片端部的载荷称为“临界载荷”，这也是接触点开始向两边推移时的载荷。这个“临界载荷”可表示为

此式清楚地表明：当载荷达到“临界载荷”时，主簧的曲率已降至。所以，主副簧在零点依然具有共同的曲率。

（2）负荷特性

负荷-变形特性是渐变刚度簧的关键问题，此处将讨论下列四个问题：主副簧接触片间的受力关系、主簧各片间的受力关系、特定点的载荷、总成变形及刚度。

1）主副簧接触片间的受力关系。

由图3-51可知，主簧一端在力P₁的作用下，主簧末片端部受力为P_n。主副簧接触点的横坐标x₀的接触力为P_n+1。假定主副簧在其接触点处具有共同的坐标和共同的曲率，于是可得

式中 y_m（x₀）——主簧末片下面初始形状函数y_m（x）在x₀处的值；

y_a（x₀）——副簧上面初始形状函数y_a（x）在x₀处的值；

f_m（x₀）——主簧末片在力P_n和P_n+1作用下，接触点x₀处的变形；

f_a（x₀）——副簧在力P_n+1作用下，接触点x₀处的变形；

y″_m（x₀）、y″_a（x₀）——函数y_m（x）和y_a（x）在x₀处的二阶导数；

f″_m（x₀）、f″_a（x₀）——在力P_n和P_n+1作用下，函数f_m（x）和f_a（x）在x₀处的曲率改变量（二阶导数）。

式（3-128）和式（3-129）还可变为如下形式：

下面分别研究式（3-130）和式（3-131）中的参数。

①y_m（x₀）、y_a（x₀）及其差值Δy（x₀）。

式（3-130）左端的主副簧接触片的初始形状函数在x₀处的值可由图3-52的几何关系求出，为

于是，便可求出两函数的差值为

式中 R_m——主簧接触片在中心螺栓拧紧后的曲率半径（cm）；

R_a——副簧接触片在中心螺栓拧紧后的曲率半径（cm）。

式中 R₀——主簧总成曲率半径；

h_k——主簧各片的厚度；

n——主簧总片数。

式（3-132）中的正负号，可由副簧的曲率中心来判断。若曲率中心在横坐标下（副簧下弯或反弧），则取“+”号；若副簧曲率中心在无穷远处，即R_a→∞，则式（3-132）变为

②及其差值。

式（3-131）左端的函数分别为

两函数的差值为

当副簧为反弧时，式（3-135）中的负正号取“+”号。当R_a→∞时，式（3-135）变为

③f_m（x₀）、f_a（x₀）及其差值Δf（x₀）。

式（3-130）右端的变形函数f_m（x₀）、f_a（x₀）分别为

式中 E——抗弯模量，E=2059×10⁴kPa；

I_n，I_n+1——主簧末片和副簧根部的惯性矩（cm⁴）；

P_n、P_n+1——作用于主簧末片端部和作用于副簧x₀处的力（N)；x₀——主副簧接触点的横坐标（cm)；

η_m，η_a——主副簧结构系数式，参见表3-37。

两变形函数f_m（x₀)和f_a（x₀)的差为

表3-37 主副簧结构系数式

④f″_m（x₀)、f″_a（x₀)及其差值Δf″（x₀)。

因为力P_n+1作用于x₀处，所以无论是主簧还是副簧，P_n+1都不改变x₀处的曲率，于是接触点x₀处的曲率改变量仅决定于P_n，即

由式（3-131)和式（3-140)，便可直接求出作用于主簧末片端部的力为

由式（3-130)、式（3-139)和式（3-141)，便可求得作用于副簧x₀处的力为

式中

或

2)主簧各片间的受力关系。

当用式（3-141)和式（3-143)求出P_n和P_n+1之后，尚需求出P_n-1、P_n-2……P₂、P₁作用于主簧各片端部的力。这既是计算各片弯矩和应力的需要，也是确定整副弹簧负荷特性的需要，即确定x₀—P₁、x₀—Q和f—Q等关系的需要。

在图3-51中，假定主簧的片间载荷为集中载荷，并假定第k片与第k+1片在其片端接触点处的变形相等，于是可得

式中 f_Ak——力作用于端部，中部某断面的变形（cm)；

f_Bk——力作用于中部，其相应断面的变形（cm)；

f_Ck——力作用于端部，端部处的变形（cm)；

f_Dk——力作用于中部，端部处的变形（cm)。

式（3-144)还可表示为如下形式：

解之可得(www.daowen.com)

式中

l_k——主簧各片有效长度之半（cm）；

h_k——主簧各片的厚度（cm）。

注意：B_k式中的l_n+1应以x₀代替。

由式（3-141）、式（3-143）和式（3-145），便可求出一系列的x₀—P_k曲线。

3）特定点的载荷。

有了x₀—P₁曲线，便可确定如下特定点的载荷。

①x₀=l_n+1时的载荷。

这个载荷就是主、副簧全部接触时的载荷。由于l_n+1是设计时已经给定的参数，故只需令x₀=l_n+1便可确定了。

②满载负荷和空载负荷。

这是弹簧设计最为关心的两点。有了x₀—P₁曲线，就可根据给定的满载和空载负荷反查其相应的x₀值，重新计算片端力P_k，进而计算单片应力和总成变形等。

③x₀=0时的载荷。

这个载荷通常称为“临界载荷”。对于作用于主簧末片端部的力P_n来说，“临界载荷”可由式（3-141）和式（3-145）直接得出

式（3-146）清楚地表明：主簧末片一端的“临界载荷”P_nc与主簧末片的材料特性E和几何特性I_n以及曲率改变量（1/R_m∓1/R_a）成正比，但与长度l_n成反比。

此外，知道了P_nc，主簧各片端部的“临界载荷”P_kc也可找到。有了作用于弹簧两端（非对称簧）的力P_1c就找到了簧载“临界载荷”Q_c。与此载荷对应的刚度，便是主簧的刚度。

值得指出的是：此时的副簧尚未起作用，主簧末片只有P_nc有效地作用其上。在式（3-145）中，因为l_n+1=x₀=0，所以B_n-1=0。

图3-53 主片（总成）的变形

4）总成变形及刚度。

利用“主片变形法”来推求弹簧总成的变形。所谓“主片变形法”，就是利用作用于主片上的力P₁和P₂，求出主片端部的变形。而主片端部的变形，就是弹簧总成一端的变形。

由图3-53可知，主片一端的变形应是P₁和P₂两力合成作用的结果。所以，主片一端的变形为

解之可得

式中

总成自由刚度c₀可用下法求得：在已知载荷Q_i和对应变形f_i的情况下，给定方程（可取k=5或k=6），并对其进行拟合，找出系数b_i，然后求导，进而求得不同载荷Q下刚度c₀（N/cm）的表达式为

式中 α——修正系数。

正如前述，x₀=0时的“临界刚度”，就是主簧的刚度。

图3-54 负荷-变形特性曲线

当给定一组x₀值后，便可由式（3-141）、式（3-143）和式（3-145）求出一系列的x₀—P_k曲线。有了一系列的x₀—P₁、P₂值，便可利用式（3-147）和式（3-148），求出一系列的x₀—f、c₀值。最后再把弹簧两端的力、变形和刚度转化为弹簧总成的载荷Q，以及变形f和刚度c，进而作出图3-54所示的负荷-变形特性曲线。

2.计算示例

计算示例包括比较计算和具体计算两部分。所谓比较计算，是指共同曲率法和共同切线法在理论上的对比计算。

（1）比较计算

比较计算仅包括主副簧接触片的片端力P_n和P_n+1。为了两种假设的对比，特导出了共切线法与式（3-141）和式（3-143）相对应的公式（等断面副簧），为

式（3-149）和式（3-150）中的Δy′（x₀）是主、副簧初始形状函数差在x₀处的一阶导数。

计算按非对称簧考虑。短边记为S，长边记为L，非对称度Y=1.5。主副簧的横坐标x₀，两边各取6个计算点（包括零点）。主副簧的有关参数见表3-38。计算结果见表3-39。

表3-38 示例弹簧参数（单位：cm）

表3-39 片端力比较

由表3-39数据可知，两种方法计算结果偏差很小。其最大偏差P_n值未超出3%，P_n+1值未超出4%。

（2）具体计算示例

①前提条件和结构参数。

计算对象为非对称渐变刚度簧，副簧为直线型变断面簧，取非对称度Y=1.4。

主簧总片数n=4，主片重叠数n₀=2，其他结构参数见表3-40。

表3-40 主副簧结构参数（单位：cm）

取总成曲率半径R₀=300cm。副簧上面平直，即R_a➝∞。假设主簧不加片间支垫，则主簧末片下面的曲率半径为

②计算主、副簧的接触力P_n和P_n+1。

对主、副簧接触点的坐标值x₀，两边各取7个计算点（包括零点），其数值见表3-41。

表3-41 主、副簧的接触力

利用式（3-141）和式（3-143）计算主、副簧的片端接触力P_n和P_n+1，计算结果见表3-41。

③计算k=（n-1）～1各片的片端力P_k。

利用式（3-145）计算各片给定接触点处的片端力P_k[k=（n-1）～1]，计算结果见表3-41。

④计算变形f及刚度c。

借助表3-41中的片端力P₁和P₂，并利用式（3-147）计算弹簧两边对应各接触点处的变形f_S和f_L。计算结果见表3-42。

利用式（3-148）计算不同载荷Q的自由刚度c₀，取α=0.9。计算结果见表3-42。

利用式（3-151）计算桥心线处的变形，计算结果见表3-42。

利用公式计算桥心线处各相应点的载荷。计算结果见表3-42。

利用式（3-152）计算桥心线处的刚度。计算结果见表3-42。

表3-42 变形及刚度

⑤绘制负荷-变形特性曲线。

将表3-42中的Q和f数值，绘制成Q—f特性曲线，如图3-55所示。

（3）检验计算

①主簧刚度的检验。

本计算方法是从主副簧接触片开始，反推其作用于各片的片端力，并附带算出了主簧的刚度。列于表3-42中的499.3N/cm这个刚度值，能否经得起如下普通公式的检验？

图3-55 Q—f特性曲线

式中

用上式计算的结果，c_S=415.2N/cm，c_L=151.3N/cm。换算到桥心处的刚度c_m=508.4N/cm。该数据与上列数据比较，偏差仅为1.8%。这既说明了采用“主片变形法”计算总成刚度的可行性，也说明了共同曲率法是经得起检验的。

②非对称簧两边变形和刚度的检验。

非对称簧两边变形和刚度应符合式（3-153）和式（3-154）所给的关系：

经验算说明，表3-42中的数据，完全符合上述两式所反映的情况。