6.4.5.1　平面滑动

平面滑动是岩质边坡滑动中最简单的情形。图6-62为一垂直于边坡走向的剖面，设边坡角为α，坡顶面为一水平面，坡高为H，ABC为可能滑动体，AC为可能滑动面，倾角为β。

当仅考虑重力作用时，设滑动体的重力为G，则它对于滑动面的垂直分量为Gcosβ，平行分量为Gsinβ。因此，滑动面上的抗滑力R和滑动力T分别为：

R=Gcosβtanφj+cjl

T=Gsinβ

根据稳定性系数的概念，则单平面滑动时岩体边坡的稳定性系数Fs为：

式中：cj，φj——分别为AC面上的黏聚力（kPa）和内摩擦角（°）；

l——AC面的长度（m）。

当边坡后缘存在拉张裂隙时，地表水就可能从张裂隙渗入，沿滑动面渗流并在坡脚A点出露，这时地下水将对滑动体产生如图6-63所示的静水压力。

图6-62　单平面滑动稳定性计算图

图6-63　有地下渗流时边坡稳定性计算图

若张裂隙中的水柱高为Zw，它将对滑动体产生静水压力V，其值为：

地下水沿滑动面AC渗流时将对AD面产生一个垂直向上的水压力，其值在A点为零，在D点为ρwgZw，分布如图6-63所示，则作用于AD面上的水压力U为：

式中：ρw——水的密度（kN/m3）；

g——重力加速度（=9.8m/s2）。

除水压力外，有时还要考虑地震作用对边坡稳定性的影响，则边坡稳定性系数计算式（6-66）变为：

式中：G——滑动体ABCD的重力（kN）；

6.4.5.2　圆弧形滑动-简化毕肖普法

一般而言，黏性土坡由于剪切而破坏的滑动面大多数为一曲面，一般在破坏前坡顶先有张裂缝发生，继而沿某一曲线产生整体滑动。图6-64中的实线表示一黏性土坡滑动面的曲面，在理论分析时可以近似地将其假设为圆弧，如图中虚线表示。为了简化计算，在黏性土坡的稳定性分析中，常假设滑动面为圆弧面。建立在这一假定上的稳定性分析方法称为圆弧滑动法。这是极限平衡方法中一种常用的分析方法。用于圆弧形滑动稳定性计算的极限平衡法主要有瑞典条分法、简化毕肖普法等方法。但由于瑞典条分法较保守，计算得到的稳定性系数偏小，一般多采用简化毕肖普法。

该方法由毕肖普（Bishop）于1955年提出，将圆弧滑动土体分成若干个土条（图6-65），作用在任一条块i上的力，除了重力Wi外，滑动面上有切向力Ti和法向力Ni，条块的侧面分别有法向力Pi、Pi+1和切向力Hi、Hi+1。假设土条处于静力平衡状态，根据竖向力平衡条件和滑体整体力矩平衡条件，则有：

图6-64　黏性土坡的滑动面

图6-65　毕肖普法条块作用力分析

这是毕肖普条分法计算土坡稳定性系数Fs的一般公式。式中，ΔHi=Hi+1-Hi，仍然是未知量。如果不引进其他的简化假定，式（6-70）不能求解。毕肖普进一步假定ΔHi=0，实际上也就是认为条块间只有水平作用力Pi，而不存在切向作用力Hi。于是式（6-70）进一步简化为：

式中：Wi——第i条块重量（kN）；

θi——过第i条块底面中点的半径与铅直线的夹角（以铅直线为起始线，逆时针为正，顺时针为负），在数值上等于第i条块底面倾角（°）；

ci、φi——分别为第i条块底面的有效黏聚力（kPa）和内摩擦角（°）。

式（6-71）称为简化毕肖普公式。由于等号右侧也包含稳定性系数Fs，因此不能直接求出Fs，而需要采用迭代或试算的办法计算Fs值。

如果考虑到条块上所受到的水压力等（图6-66），则稳定性系数Fs计算公式为：

图6-66　简化毕肖普法计算简图

式中：Vi——第i条块垂直向地震惯性力（kN）（向上取“+”，向下取“-”）；

Pi——作用于第i条块的外力（kN）（不含坡外水压力）；

Ui——第i条块底面的孔隙水压力（kN）；

bi——第i条块宽度（m）；

αi——第i条块底面倾角（°）（以水平线为起始线，逆时针为正，顺时针为负）；

βi——第i条块的外力Pi与水平面的夹角（°）（以水平线为起始线，顺时针为正，逆时针为负）；

MQi——第i条块水平向地震惯性力Qi对圆心的力矩（kN·m）；

Qi——第i条块水平向地震惯性力（kN）（Qi方向与边坡滑动方向一致时取“+”，反之取“-”）；

hPi——第i条块的外力Pi水平方向分力对圆心的力臂（m）；

R——滑动面圆弧的半径（m）。

简化毕肖普法的特点是：①满足整体力矩平衡条件；②满足各个条块力的多边形闭合条件，但不满足条块的力矩平衡条件；③假设条块间作用力只有法向力没有切向力；④满足极限平衡条件。由于该方法计算过程不很复杂，精度也比较高，所以是目前很常用的一种方法。

6.4.5.3　不规则或折线形滑动

有些边坡滑动其滑动面为不规则形状或折线形状，例如不均匀的土质边坡，或沿第四系覆盖层与基岩接触面的滑动，或岩质边坡不同风化带界面处的滑动等情况，这时就不能采用圆弧形滑动或平面滑动来计算。

用于不规则形状或折线形滑动的极限平衡计算方法较多，例如普遍条分法（简布法）、传递系数法、Sarma法、摩根斯顿-普赖斯法等。

6.4.5.3.1　普遍条分法（简布法）

普遍条分法的特点是假定条块间水平作用力的位置。在这一假定前提下，每个条块都满足全部的静力平衡条件和极限平衡条件，滑体的整体力矩平衡条件也自然得到满足。而且，它适用于任何形状的滑动面，所以称为普遍条分法。由于它是由简布（Janbu）提出的，又称为简布法。

图6-67　简布法条块作用力分析

从图6-67（a）滑动土体ABC中取任意条块i进行静力分析。作用在条块i上的力及其作用点如图6-67（b）所示。按照静力平衡条件∑FZ=0，得：

图6-68表示作用在土条条块侧面的法向力P，显然有P1=ΔP1，P2=P1+ΔP2=ΔP1+ΔP2，依此类推，则有：

若条块总数为n，则有：

将式（6-73）代入式（6-75），得：

图6-68　条块侧面法向力

整理后得：

比较毕肖普公式（6-71）和简布公式（6-76），可以看出两者很相似，但有差别。毕肖普公式是根据滑动面为圆弧面，滑动土体满足整体力矩平衡条件推导出的；简布公式则是利用力的多边形闭合和极限平衡条件得出。

对于式（6-76），为了求解ΔHi，简布法利用条块的力矩平衡条件，将作用在条块i上的力对条块滑弧段中点Oi取矩[图6-67（b）]，并使∑MOi=0，则有：

略去高阶微量整理后得：

式（6-77）表示土条间切向力与法向力之间的关系。式中符号如图6-67所示。

由式（6-73）至式（6-78），利用迭代法可以求得边坡稳定安全系数Fs。

6.4.5.3.2　不平衡推力法

不平衡推力法也称传递系数法、剩余推力法，是最早由我国铁道部门提出的计算滑坡稳定性和滑坡推力的方法，目前使用较为广泛。

该方法定义滑坡剩余下滑力（滑坡推力）E为下滑力与抗滑力的差值。在计算时，根据滑面起伏状况进行条分，并假设：①第i-1块的剩余推力Ei-1传递作用到第i块，且其作用力的方向平行于第i-1块的底滑面；②如果Ei-1＜0，为了避免上一条块对下一条块传递拉力，使Ei-1=0。

该方法有隐式解和显式解两种计算方法。

（1）隐式解（图6-69）。自后缘往前缘各条块底滑面与水平面的夹角分别为α1，α2，…，αn-1，αn。如果仅考虑滑体的重力作用，则第i条块的剩余推力Ei为：

图6-69　隐式解第i条块受力分析

式中：Wi——第i块的重力（kN）；

li——第i块的底面长度（m）；

φi——第i块内摩擦角（°）；

ci——第i块的滑面黏聚力（kPa）；

ψi-1——第i-1条块对第i条块推力传递系数。ψi-1=cos（αi-1-αi）-tanφisin（αi-1-αi）/Fst。

使i=n，则可以得到最后一个条块（即n条块）的剩余下滑力En，如果En＞0，表明该滑坡处于不稳定状态；如果En＜0，表明该滑坡是稳定的；如果En=0，则对应极限平衡状态。

为了获得滑坡稳定性系数Fs，可以调整上式中Fst的大小，通过迭代计算使En=0，这时得到的Fst值在数值上等于该滑坡稳定性系数Fs。

（2）显式解（图6-70）。由于不平衡推力法隐式解需要迭代计算，后期又提出显式法。其稳定性系数按下式计算：

图6-70　显式解受力分析

Ri=[(Wi+Vi)cosαi-Ubi-Qisinαi+Pisin(αi+βi)]tanφi+cibisecαi

Ti=(Wi+Vi)sinαi-Ubi+Qicosαi-Picos(αi+βi)

ψi=cos(αi-1-αi)-sin(αi-1-αi)tanφi/Fst

作用于条块侧面上的推力Ei则按下式计算：

式中：ψi——第i条块侧面的推力传递系数；

Ubi——作用于第i条块底面的孔隙水压力（kN）；

Ei-1——第i-1条块作用于第i条块的推力（kN）；

Ei——第i+1条块对第i条块侧面的反作用力（kN），与第i条块的推力大小相等，方向相反。

显式解法将隐于抗剪强度指标和传递系数中的安全系数取消，只将下滑力乘以安全系数，从而得到计算公式。其安全系数的定义与其他刚体极限方法不同，采用的是超载系数的概念。而隐式解法的安全系数采用传统的抗剪强度指标折减的定义，将安全系数隐于抗剪强度指标和传递系数中，通过迭代求解。

将不平衡推力传递法显式和隐式的计算结果与简化毕肖普法和摩根斯顿-普赖斯法相比，隐式解的计算结果与后两种方法十分接近，而显式解的计算结果并不总是与后两种方法接近。一般情况下显式解和隐式解的计算结果均大于后两种方法的计算结果，偏于不安全。显式解的计算结果误差更大，当安全系数等于1.0时，显式解和隐式解是等效的，安全系数越是偏离1.0，按两式求得的安全系数相差越大。

隐式解法虽优于显式解法，但也存在明显的缺陷。由于其条块间推力平行于上一滑动条块底面的假定，使得计算的稳定性系数受滑动面倾角的影响较大。有的研究认为，对于光滑连续的滑面隐式解法可以无条件使用，由折线形组成的滑面，隐式解的使用应有限制，滑面中所有转折点处的倾角变化值必须小于10°，当转折点处的倾角变化量超过10°时，需对滑面进行处理，以消除尖角效应。

6.4.5.3.3　萨尔玛法（Sarma法）

图6-71　Sarma法假定的岩体破坏形式

图6-72　Sarma法计算简图

萨尔玛法由英国学者Sarada K.Sarma在1979年提出，其后得到了广泛应用。它是一种考虑滑体强度的边坡极限平衡分析方法，其基本思想是：边坡岩土体除非是沿一个理想的圆弧面滑动，才可能作为一个完整刚体运动。否则，岩土体必须先破坏成多块相对滑动的块体才可能滑动，亦即在滑体内部发生剪切（图6-71）。因此，萨尔玛法有着独特的优点，它可以用来评价各种类型滑坡的稳定性。计算时考虑滑体底面和侧面的抗剪强度参数，而且各滑坡可具有不同的c、φ值；滑坡两侧可以任意倾滑，并不限于竖直边界，因而能分析具有各种结构特征滑坡的稳定性；由于引入了临界水平加速度判据，因此该方法还可以用来分析地震力对滑坡稳定性的影响。总之，该方法比较全面客观地反映了滑坡的实际情况，计算结果较符合客观实际。

Sarma法力学模型如图6-72所示，通过满足各条块之间侧滑面及滑体底滑面的力学平衡以及力矩平衡，可以得到如下的计算公式：

作用于第i条块左侧面上的推力Ei按下式计算：

式中：cbi、φbi——分别为第i条块底面上的黏聚力（kPa）和内摩擦角（°）；

¯cbi、¯φbi——分别为第i条块底面上折减后的黏聚力（kPa）和内摩擦角（°）；

csi、φsi——分别为第i条块第i侧面上的有效黏聚力（kPa）和内摩擦角（°）；

¯csi、¯φsi——分别为第i条块第i侧面上折减后的有效黏聚力（kPa）和内摩擦角（°）；

csi+1、φsi+1——分别为第i条块第i+1侧面上的有效黏聚力（kPa）和内摩擦角（°）；

¯csi+1、¯φsi+1——分别为第i条块第i+1侧面上折减后的有效黏聚力（kPa）和内摩擦角（°）；

Usi、Usi+1——分别为第i条块第i侧面、第i+1侧面上的孔隙水压力（kN）；

Ubi——第i条块底面上的孔隙水压力（kN）；

Pfi——作用于第i条块上的加固力（kN）；

δsi、δsi+1——分别为第i条块第i侧面、第i+1侧面上的倾角（°）（以铅直线为起始线，顺时针为正，逆时针为负）；

Wi——第i条块重量（kN）；

Vi——作用于第i条块上的竖向外荷载（kN）；

En+1——第n条块右侧面总的正压力（kN），一般情况下En+1=0；

E1——第1条块左侧面总的正压力（kN），一般情况下E1=0；

Fst——抗滑稳定安全系数。

由于萨尔玛法计算公式较为繁琐，其推导过程也非常复杂，近年来一些学者对该方法进行研究，提出了萨尔玛法的改进方法，可参见相关参考文献。

6.4.5.3.4　摩根斯顿-普赖斯法改进方法

摩根斯顿-普赖斯法是1967年提出的严格条分法，该方法假设条块的竖直切向力与水平推力之比为含有待定系数λ与条间力函数f（x）的乘积，然后建立满足水平与竖直方向力的平衡方程与力矩平衡方程，通过迭代求解稳定性系数和待定系数。这个方法收敛性良好，且满足严格的平衡条件，因而在国际岩土工程界受到欢迎。但由于该方法求解较复杂，目前常用的是对其进行改进的两种方法。

（1）改进方法一。在经典的摩根斯顿-普赖斯法中，没有考虑地震惯性力，改进方法一加入了地震惯性力，其计算简图如图6-73所示，计算公式如下：

图6-73　摩根斯顿-普赖斯法（改进方法一）计算简图

式中：dx——条块宽度（m）；

c、φ——分别为条块底面上的有效黏聚力（kPa）和内摩擦角（°）；

c、φ——分别为条块底面上折减后的有效黏聚力（kPa）和内摩擦角（°）；

dW——条块重量（kN）；

q——作用于条块顶部的竖向均布荷载（kN/m）；

Me——各条块水平地震惯性力对条块底部中点力矩之和（kN·m）；(www.daowen.com)

Mp——各加固力的水平分力对条块底部中点力矩之和（kN·m）；

dQ、dV——分别为条块的水平向和竖直向地震惯性力（kN）（dQ方向与边坡滑动方向一致时取“+”，反之取“-”；dV向下取“+”，反之取“-”）；

dP——作用于条块的外力（kN）（不含坡外水压力）；

U——作用于条块底面的孔隙水压力（kN）；

α——条块底面与水平面的夹角（°）（以水平线为起始线，逆时针为正，顺时针为负）；

β——条块侧面的合力与水平方向的夹角（°）（以水平线为起始线，逆时针为正，顺时针为负）；

dβ——相对于上一条块的条块侧面合力与水平方向的夹角增量（°）；

λ——确定tanβ值的待定系数；

f（x）——tanβ值在x方向上的分布形状，可取f（x）=1；

θ——外力与水平方向的夹角（°）（以水平线为起始线，顺时针为正，逆时针为负）；

he——水平地震惯性力到条块底面中点的垂直距离（m）；

lp——外力的水平分力到条块底面中点的垂直距离（m）。

为了找到满足平衡方程的λ和K值，可以先假定一个λ和Fs，然后采用逐条积分法求解。经迭代直到假定的λ和Fs满足平衡方程为止。

这种改进的摩根斯顿-普赖斯法已在国内得到普遍应用，并纳入多个规范。

（2）改进方法二。改进方法二仍基于经典的摩根斯顿-普赖斯方法的基本假定（图6-74）。推导出条块间作用力和力矩的递推公式（6-85），形式更为简单，并最终可采用一个公式表达各变量间的关系，使计算过程大为简化，并便于编制计算机程序。

图6-74　摩根斯顿-普赖斯法（改进方法二）计算简图

式中：Kc——水平地震惯性力影响系数；

αi-1——第i-1条块底面与水平面的夹角（°）（以水平线为起始线，逆时针为正，顺时针为负）；

ωi——第i条块外力Pi与竖直方向的夹角（°）（以铅直线为起始线，逆时针为正，顺时针为负）；

Mi——第i条块与第i+1条块间的条间力矩（kN·m）；

zi——第i条块与第i+1条块间的条间力Ei至条块侧面底的距离（m）；

hi——第i条块高度（m）；

Ui——作用于第i条块底面的孔隙水压力（kN/m）；

Ei、Ei-1——分别为第i条块的左右两边条块间的法向力（kN）；

λfi-1Ei-1——第i条块与第i-1条块间的剪切力（kN）；

λfi-1——条块间的法向力与剪切力的比值函数λf（x）在该分条位置数值；

λ——条块间的法向力与剪切力的比值函数f（x）的比例系数；

f（x）——条间力函数，可采用f（x）=1或半正弦函数；

Ri、Rn——分别为第i条块和第n条块底面抗滑力的合力（kN）；

Ti、Tn——分别为第i条块和第n条块底面滑动力的合力（kN）。

在工程实践中，由设计者根据实际情况采用上述两种改进方法进行同步计算，以便进行对比和相互验证。

6.4.5.4　楔形体滑动

楔形体的滑动面由两个倾向相反且其交线倾向与坡面倾向相同、倾角小于边坡角的软弱结构面组成。由于这是一个空间课题，所以其稳定性计算较为复杂。

图6-75　楔形体滑动模型及稳定性计算图

如图6-75所示，可能滑动体ABCD实际上是一个以△ABC为底面的倒置三棱锥体。假定坡顶面为一水平面，△ABD和△BCD为两个可能滑动面，倾向相反，倾角分别为β1和β2，它们的交线BD的倾伏角为β，边坡角为α，坡高为H。

假设可能滑动体将沿交线BD滑动，滑出点为D。在仅考虑滑动岩体自重W的作用时，边坡稳定性系数η计算的基本思路：首先将滑体自重W分解为垂直交线BD的分量N和平行交线的分量（即滑动力T=Wsinβ），然后将垂直分量N投影到两个滑动面的法线方向，求得作用于滑动面上的法向力NA和NB，最后求得抗滑力及稳定性系数。

根据以上基本思路，则可能滑动体的滑动力为Wsinβ，垂直交线的分量为N=Wcosβ[图6-76（a）]。将N投影到△ABD和△BCD面的法线方向上，得作用二滑面上的法向力[图6-76（c）]为：

式中：θ1，θ2——分别为N与两滑动面法线的夹角（°）。

设c1，c2及φ1，φ2为滑动面△ABD和△BCD的黏聚力和内摩擦角，则两个滑动面总的抗滑力：R=NAtanφA+NBtanφB+cASA+cBSB，则边坡的稳定性系数为：

式中：SA、cA、φA——分别为滑动面A的面积（m2）、黏聚力（kPa）和内摩擦角（°）；

SB、cB、φB——分别为滑动面B的面积（m2）、黏聚力（kPa）和内摩擦角（°）；

W——楔形体的重量（kN）；

SA、SB——滑动面的面积（m2）。

用式（6-86）中的NA和NB代入式（6-87）即可求得边坡的稳定性系数。在以上计算中，如何求得滑动面的交线倾角β及滑动面法线与N的夹角θ1和θ2等参数，可通过赤平投影及实体比例投影等图解法或用三角几何方法求得。

如果两滑动面的倾向与倾角分别为aa、φa和ab、φb，滑动面A和B的交线OC的倾向和倾角为aS、φS，其稳定性系数也可以用下式计算：

图6-76　楔形体滑动力分析图

此外，式（6-88）是在边坡仅承受岩体重力条件下获得的，如果所研究的边坡还承受有如静水压力、工程建筑物作用力及地震力等外力时，应在计算中加入这些力的作用。其稳定性系数为：

式中：NA=qW+rUC+sP-UA；

NB=xW+yUC+zP-UB;

mab=sinφasinφbcos(aa-ab)+cosφacosφb;

mWa=-cosφa;

mWb=-cosφb;

mca=sinφasinφccos(aa-ac)+cosφacosφc;

mPa=sinφPsinφacos(aP-aa)-sinφPcosφa;

mPb=sinφPsinφbcos(aP-ab)-sinφPcosφb;

mWS=sinφS;

mcS=sinφSsinφccos(aS-ac)-sinφScosφc;

mPS=sinφSsinφPcos(aS-aP)+sinφPcosφS。

式中：aP、φP——分别为锚杆加固力P的倾向和倾角（°）；

UA——滑动面A上的孔隙压力（kN）；

UB——滑动面B上的孔隙压力（kN）；

UC——张裂缝面C上的孔隙压力（kN）；

W——楔形体的重量（kN）；

P——锚杆加固力（kN）。