一、极射赤平投影的原理

极射赤平投影简称赤平投影，主要用来表示线、面的方位，相互间的角距关系及其运动轨迹，把物体三维空间的几何要素（线、面）反映在投影平面上进行研究处理。它是一种简便、直观的计算方法，又是一种形象、综合的定量图解，广泛应用于地质科学中。运用赤平投影方法，能够解决地质构造的几何形态和应力分析等方面的许多实际问题，因此，它是研究地质构造不可缺少的一种手段。

赤平投影本身不涉及面的大小、线的长短和它们之间的距离，但配合正投影图解，互相补充，则有利于解决包括角距关系在内的上述计量问题。

1. 投影原理

一切通过球心的面和线，延伸后均会与球面相交，并在球面上形成大圆和点。以球的北极为发射点，与球面上的大圆和点相连，将大圆和点投影到赤道平面上，这种投影称为极射赤平投影。本教材采用下半球投影，即只投影下半球的大圆弧和点。

附图1为一球体，AC为垂直轴线，BD是水平的东西轴线，FP 是水平的南北轴线，BFDP为过球心的水平面，即赤平面。

平面的投影方法（附图1） 设一平面走向南北、向东倾斜、倾角40°，若此平面过球心，则其与下半球面相交为大圆弧PGF，以A点为发射点，PGF弧在赤平面上的投影为PHF弧。PHF弧向东凸出，代表平面向东倾斜、走向南北，DH之长短代表平面的倾角。

直线的投影方法（附图 2） 设一直线向东倾伏、倾伏角40°，此线交下半球面于G点。以 A为发射点，球面上的 G点在赤平面上的投影为 H。HD的长短代表直线的倾伏角，D 的方位角即直线的倾伏向。同理，一条直线向南西倾伏、倾伏角20°，此线交下半球面于J点，其赤平投影为K。

附图1 平面的投影

附图2 直线的投影

为了准确、迅速地作图或量度方向，可采用投影网。常用的有吴尔福网［简称吴氏网，也称等角距网，附图 3（a）］和施密特网［也称为等面积网，见附图 3（b）］，以及据其改换形式而成的极等角度网［见附图 3（c）］和极等面积网［赖特网，见附图 3（d）］。吴尔福网与施密特网基本特点相同，下面以吴尔福网为例介绍投影网。

2. 吴尔福投影网［附图 3（a）］

附图3 投影网

1）结构要素

基圆 即赤平面与球面的交线，是网的边缘大圆。由正北顺时针为0°～360°，每小格2°，表示方位角，如走向、倾向、倾伏向等。

两个直径 分别为南北走向和东西走向直立平面的投影。自圆心→基圆为 90°～0°，每小格2°，表示倾角、倾伏角。

经线大圆 是通过球心的一系列走向南北、向东或向西倾斜的平面的投影，自南北直径向基圆代表倾角由陡到缓的倾斜平面。

纬线小圆 是一系列不通过球心的东西走向的直立平面的投影。它们将南北向直径、经线大圆和基圆等分，每小格2°。

2）操作

将透明纸（或透明胶片等）蒙在吴氏网上，描绘基圆及“十”字中心，固定网心，使透明纸能旋转。然后在透明纸上标上标出N、E、S、W。

平面的投影 标绘产状SE120°∠30°的平面（附图 4）。

附图 4

将透明纸上的指北标记N与投影网正北重合，以北为0°，在基圆上顺时针数至 120° 得一点 D，为平面的倾向［附图 5（a）］。

转动透明纸将D点移至东西直径上（转至南北直径也可），自D点向圆心数30°得C点，标绘C所在的经线大圆弧［附图5（b）中之ACB］，AB为平面的走向。

转动透明纸，使指北标记与投影网正北重合，ACB大圆弧即为SE120°∠30°平面的投影［附图5（c）］。

附图5 平面的投影步骤

P—透明纸；M—吴氏网

直线的投影 标绘产状为NW330°∠40°的直线。

使透明纸上正北标记N与投影网正北重合，以N为0°，在基圆上顺时针数至330° 得一点A，为直线的倾伏向［附图6（a）］。

把A点转至东西直径上（转至南北直径也可），由A点向圆心数40°得A′点［附图6（b）］。

把透明纸的指北标记转至与投影网正北重合，A′即为产状NW330°∠40°的直线的投影［附图6（c）］。

法线的赤平投影 是指平面法线的产状标绘。法线的投影是极点，平面的投影是圆弧，二者互相垂直，夹角相差 90°。往往用法线的投影代表与其相对应的平面的投影，这样较为简单。

例 求产状为E90°∠40°的平面法线的投影（附图7）。

标绘出产状 90°∠40°的平面投影大圆弧，自该平面倾斜线投影 D′点在东西向直径上数90°，显然已越过圆心进入相反倾向，得 P′点，该点即为产状90°∠40°平面的法线投影——极点。也可自圆心向反倾向数40°，即得法线投影。

附图6 直线的投影步骤

P—透明纸；M—吴氏网

附图7 法线的投影

A—透视图；B—赤平图

已知真倾角求视倾角 某岩层产状为NW300°∠40°，求在NW335°方向剖面上该岩层的视倾角（见附图8）。

据岩层面产状作其投影弧EHF。在基圆上数至NW335°得D′点。作D′点与圆心 O 的连线，交 EHF 于 H′点。H′为岩层面与 NW335°方向剖面的交线在下半球的投影。D′H′间的角距即为NW335° 方向上的视倾角。(www.daowen.com)

求两平面交线的产状（见附图9）。

据已知的两平面产状，在吴氏网上分别求出其投影大圆弧 EHF 和 JHK。两大圆弧的交点H即为两平面交线与下半球面交点的投影。作H 与圆心O的连线，交基圆于G点，G 点的方位角即两平面交线的倾伏向，GH间的角距为交线的倾伏角。

附图8 已知真倾角，求视倾角

附图9 求两平面交线的产状

求两相交直线所决定的平面的产状 已知两相交直线的产状分别为 SE120°∠36°和S180°∠20°，求其所决定的平面的产状（附图10）。

附图10 两相交直线所决定的平面的投影

A—透视图；B—投影图

据已知产状作出两直线的投影点 D′、F′。转动透明纸使 D′、F′两点位于同一经线大圆弧上，AF′D′B 大圆弧即为两相交直线所共平面的投影。

求平面上直线的投影 已知一平面产状 S180°∠37°，该平面上一直线侧伏向 E，侧伏角 44°，求直线的倾伏向、倾伏角（附图11）。

附图11 平面上直线的投影

依平面产状作出其投影大圆弧，并标出其朝东的走向A。

将大圆弧转至 SN 方向，自 A 点数经线大圆与纬线小圆的交点，读出侧伏角 44°（θ），标出该点 C″， C″为直线在平面上的投影。

C″C′间的角距γ即为直线的倾伏角，C′的方位角则为直线的倾伏向。

3. 小结

一切面状构造，如岩层面、断层面、劈理、流面、褶皱轴面等的投影方法，都可采用空间平面的投影方法。一切线状构造，如二平面的交线、走向线、倾斜线、擦痕、流线、褶皱的枢纽、轴迹等的投影方法，都与直线的投影相同。这些面状和线状构造的产状要素都可以借助于前述赤平投影的方法求得。利用这些方法可以解决以下构造问题：

已知岩层产状，求某一方向剖面上的岩层视倾角；

已知岩层在两剖面方向上的视倾角，求岩层的走向、倾向和倾角；

求断层面与岩层面交迹线的产状；

已知断层面产状及其上擦痕的侧伏角，求擦痕的倾伏向、倾伏角；

求一对共轭剪节理的交线（即变形椭球体的B轴）的产状。

二、练习题

练习题（1）

（1）投影平面SW245°∠30°。

（2）投影直线NE42°∠62°。

（3）投影平面NW318°∠26°的法线（即极点）。

（4）投影包含直线SW258°∠40°及NE42°∠60°的平面。

（5）已知铁矿层产状为 SE154°∠40°，求下列各方向剖面上的视倾角：NE80°、NW330°、SW190°、SW240°。

（6）在公路转弯处的两陡壁上，测得板状含金石英脉的视倾斜线产状分别为SE120°∠16°和SW227°∠22°，求该板状含金石英脉的真倾斜。

（7）岩层面产状为SE150°∠40°，岩层面上有擦痕线，其侧伏角为30°SW，求擦痕线的倾伏向和倾伏角（提示：作出岩层面大圆弧后，由大圆弧走向的SW端沿大圆弧数30°，即得擦痕线的投影点，该点的产状即为所求）。

（8）求平面SW245°∠30°及SE145°∠48°的交线。

练习题（2）

（1）求平面NW335°∠30°与平面SW235°∠48°的夹角，以及夹角平分线的产状。

（2）一圆柱状背斜北西翼产状为NW330°∠45°，北东翼产状为NE65°∠35°。求：①东西向直立剖面上两翼的视倾角及两翼的翼间夹角；②横截面（垂直枢纽的剖面）的产状、横截面上两翼的侧伏角及两翼的翼间夹角。

（3）某地灰岩中发育一对共轭剪节理，一组产状为SW190°∠76°，另一组为NW278°∠53°，求三个主应力轴产状（假定两组剪节理锐角等分线方向为σ1方向）。某岩层具有同期三组节理，统计结果如下表，试求各主应力轴方位。

一条左行断层，产状为SW220°∠60°，在断层面上量得擦痕侧伏角16°W，设该岩石内摩擦角φ为30°。求σ1、σ2、σ3的产状，如有共轭断层，其产状多少？

一断层产状 270°∠70°，派生张节理产状为 SW240°∠40°，求二者夹角，并分析断层滑移方向及断层类型。一沙岩层产状为 SE120°∠30°，其中发育交错层理，前积纹层产状为SE150°∠50°，求前积纹层原始产状。不整合面产状为SW200°∠30°，下伏地层产状NW315°∠60°，求当上覆地层水平时，下伏地层的产状。不整合面产状为SW220°∠20°，其下伏地层中发育的背斜东翼产状SE132°∠23°、西翼产状SW250°∠46°，求在上覆地层沉积时背斜两翼地层及枢纽的产状。

三、思考、讨论题

（1）与正投影相比，赤平投影有何特点？

（2）与玫瑰花图相比，赤平投影图有何优点或缺点？