冬至、夏至的日影长度与表高、观测地点的地理纬度、黄赤交角之间的关系为：

Lx=Lbtan（ф－ε）…………（公式3）

Ld=Lbtan（ф+ε）…………（公式4）

式中Lx为夏至影长，Ld为冬至影长，Lb为表高，ф为地理纬度，ε为黄赤交角。更精确的计算还要考虑太阳半径、蒙气差、地球视差等因素。

（一）《周髀算经》的时代与纬度已往的计算结果

夏至日影1尺6寸只出现在《周髀算经》这一种文献中。由《周髀算经》推算观测地的纬度有三种数据可用，一是夏至日影1尺6寸，二是冬至日影1丈3尺5寸，三是北极高度1丈3寸。因为如公式（3）（4）所示，表影长度是纬度和黄赤交角的函数。黄赤交角是个随时间有微小变化的变量，变化周期约41000年，在近5000年以来都处在减小的过程中，约每百年减小49秒。所以如果仅知道冬至和夏至表影长度之一，那么在可能的历史年代范围内，观测地点纬度的确定还是有一定误差的。如果同时知道冬至和夏至的表影长度，那么从理论上讲就可以准确求得观测点的地理纬度和黄赤交角，随之确定下来观测年代。但是还有蒙气差的改正、太阳半径的改正和视差的改正，从而使得结果不十分确定。

钱宝琮在1929年^[51]和1958年^[52]曾两度对《周髀算经》进行研究，他的计算都是将冬夏至日影作为一组数据，而将北极高度作为另一个独立的数据。前一次他既订正了太阳半径，也订正了蒙气差，给出冬夏至日影观测地纬度为35°37'，黄赤交角24°2'；后一次只订正了蒙气差，得到冬夏至日影观测地纬度为35°20'42″，黄赤交角24°1'54″。由北极高度算得地理纬度为37°49'50″。钱宝琮认为由冬夏至日影数据和由北极高度数据推算的纬度相差约2°29'，“不能认为由测量时的偶然误差所致。并且纬度35°20'42″或37°49'50″都相当高，远在周都洛阳之北”，“又从《周髀》书中冬、夏至日日影推算出来的黄赤交角，24°2'也是相当大，不是西周以后的天文实际”，据此钱先生认为《周髀算经》的三个数据“不能是实际测量的真实记录。”^[53]

能田忠亮1933年计算过《周髀算经》的二至日影长度与北极璇玑长度。他没有加入太阳半径改正和蒙气差改正，直接用二至日影计算得到观测地纬度为35.33°，即35°20'，黄赤交角24.02°，并给出黄赤交角24.02°的年代为－2500年；用北极璇玑晷长计算得到纬度为37.84°。但他认为黄赤交角随时间变化缓慢，以之确定年代并不可靠，而纬度的计算结果是可靠的；至于利用北极璇玑算出的纬度与利用二至日影算出的纬度有2度半的差值，他认为是古人观测粗糙造成的，35°多的纬度应该是《周髀算经》可信的观测纬度。^[54]

高平子1937年由二至影长计算，改正蒙气差和太阳半径后，得到观测地纬度为35°37'.4，黄赤交角为24°02'.8，与钱宝琮1929年的结果相同。他将告成和洛阳自公元前1200年至公元2000年间冬夏至日影的理论长度值做成图表，比较后认为“《周髀》所记之晷景至为疏远，恐出于理想，非由实测。”^[55]

可见，钱宝琮和高平子认为《周髀算经》不是实测，理由之一是纬度太高，不合周都洛阳；之二是黄赤交角太大，不合周初年代；之三（只有钱宝琮）是由北极得出的纬度与由二至日影得出的纬度有2度多的差异。前两条理由的得出是因为他们首先认定了《周髀算经》的数据应该来自于周初，在周都洛阳或阳城所测。而能田忠亮则采取了相对宽容的态度，他并不否认这些数据来自实测，而是允许古代的观测有更大的观测误差。(www.daowen.com)

赵永恒将《周髀算经》中的冬夏至日影与北极高度作为同一组数据进行拟合，得到两个观测年代，公元前511年左右和公元前142年左右，以公元前511年左右为好。观测地纬度约35.2°，夏至晷长测量精度略大于半寸，冬至晷长和北极璇玑晷长的测量精度在2寸左右。^[56]

（二）《周髀算经》与陶寺遗址

随着陶寺遗址陶寺文化中期观象祭祀台的发现和初步判定，《周髀算经》冬夏至日影观测地点问题有了新的见解。黎耕和孙小淳提出《周髀算经》的日影可能是陶寺观测的结果。他们由钱宝琮得到的黄赤交角算得观测年代约为距今4396年，由高平子得到的黄赤交角算得观测年代约为距今4424年。结合钱宝琮算得的地理纬度35°20'42″和高平子算得的纬度35°37'4″，以及陶寺的纬度35°53'59″，认为“《周髀》中数值与尧都陶寺较合。考虑到地理纬度的误差，并使用更加精确的黄赤交角长周期变化公式，将有望得到更为精确的结论。”^[57]

黎耕和孙小淳提出的《周髀算经》冬夏至日影得之于陶寺的观点，虽然从纬度上有20～30分的差距，从时代上比较符合陶寺文化早期（公元前2300—前2100年），与陶寺文化中期（公元前2100—前2000年）有一定的差距，但这是一种值得高度重视的见解，因为早期的观测误差显然会较后世大一些，而且为了某些目的早期观测的理论数值可能取整，即在“分”级采用四舍五入或类似的方法，只用“寸”来表示日影长度。当然，陶寺早期城址建成和使用时间段为公元前2300—前2100年，因而《周髀算经》冬夏至日影数据测自陶寺早期城址也具有很大的潜在可能

《周髀算经》晷影观测出自陶寺之说随后有了一个有力的证据，就是在陶寺遗址发现的一根漆杆。这根漆杆出土于陶寺文化中期王级大墓中，出土时残长171.8厘米。漆杆被漆成黑绿相间的色段，加以粉红色带分隔。何驽推测这根漆杆为圭表日影测量仪器系统中的圭尺，特别提出漆杆第10—12号绿色带被11号粉红色带有意隔断，第1—11号色段总长39.9厘米。根据对陶寺尺度研究的结果，1陶寺尺等于25厘米，则39.9厘米相当于1.596陶寺尺，非常接近于1.6尺，何驽认为这应该就是陶寺夏至晷长的理论标志点。作为黑色带和绿色带分隔的粉红色带宽度在0.5～1.5厘米之间，相当于0.2～0.6陶寺寸。考虑到测影时由于日光散射影端较虚等因素，当时的观测误差达到0.5厘米（即0.2陶寺寸）是可以接受的。况且陶寺漆圭尺夏至标志点第1—11号色段长39.9厘米，比1.6尺（即40厘米）误差仅0.1厘米，相当于陶寺0.04寸，远小于可以接受的0.2陶寺寸的误差临界值。^[58]

何驽后来又发表《陶寺圭尺补正》一文，纠正了之前认为《周髀算经》中的冬夏至日影都出自陶寺遗址测量结果的观点，对漆杆的复原长度也提出了新的结论。文中根据赵永恒的计算对陶寺圭表第11号色带接近1.6尺的来源进行了新的阐释。根据陶寺圭尺刻度彩段最窄为0.5厘米，设定陶寺圭尺刻度实测数据最大允许误差≤0.5厘米即陶寺时期的2分。理论计算陶寺时期夏至影长为1.693583—1.694476尺，即42.25厘米；冬至影长13.736081—13.735897尺，即343.5厘米，而不是《周髀算经》记载的夏至1尺5寸、冬至1丈3尺5寸。那么陶寺夏至影长并不是真正的1.6尺。何驽对二者的关系作了进一步的解释，认为：陶寺圭尺上的1.6尺标志不是陶寺遗址实测数据，而是来自作为陶寺文化主体来源的晋南垣曲盆地和运城盆地的庙底沟二期文化。垣曲地区的地理纬度34°59'～35°26'，钱宝琮《盖天说源流考》和赵永恒文中所计算的《周髀算经》的观测纬度都在这一范围内。由此推测陶寺圭尺上第11号粉红色段几近1.6尺的夏至影长标志，是从这一地区继承来的“夏至传统标准数据点”，“在陶寺遗址不具有实用功能，表示对祖先传统夏至数据的尊重。其更深层次的意识形态则是垣曲地区庙底沟二期文化时期便自命当地夏至影长1.6尺为地中，陶寺城址的选址则是在附会这一传统理论夏至‘地中’晷影标准。”^[59]

《陶寺圭尺补正》一文还公布了另一件重要的文物，这就是陶寺的立表。陶寺圭尺出土于陶寺中期王墓IIM22中，但是该墓并没有出土可以用作立表的遗物。实际上在1984年发掘的陶寺早期王族墓地的中型墓M2200中，出土过一件可能是立表的遗物，之前并没有发表，何驽文中介绍冯时之前曾提出这根杆子可能作为立表使用。M2200中并无随葬陶器和玉器，“墓主左侧棺室墓壁斜靠一根红色木杆，现存长214、复原长225厘米，顶端直径4、近尖端直径2厘米，表面涂红彩。”何驽提出这根木杆如作为立表使用，测影时插入地下25厘米，露出地表200厘米，恰好是陶寺的8尺。

因此，《周髀算经》中的夏至影长1.6尺极可能是陶寺遗址认定的理论标准数值。