结构动态特性分析中的解析法通常需要借助有限元法。 有限元法是将连续的弹性体划分成有限多个彼此只在有限个点相联接的、有限大小的单元组合体来研究的；也就是用一个离散结构来代替原结构，作为真实结构的近似力学模型，以后的数值计算就在这个离散结构上进行。

（1）有限元的基本原理

有限元分析是将求解域看成由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个合适的近似解，然后推导求解这个域总的满足条件，从而得到问题的解。 具体的理论过程大致可分为以下步骤。

1）连续区域的离散化

结构的离散化是有限元法分析的第一步，它将要分析的结构分割成有限个单元体，并在单元体的指定点设置节点，使相邻单元的有关参数具有一定的连续性，并构成一个单元的集合体，以它代替原来的结构。

2）构造插值函数（位移模式）

为了要用节点位移作为基本未知量，使能用单元节点位移表示单元内任意点的位移、变形和应力，就需要构造一个插值函数。 根据所选定的插值函数，就可导出用节点位移表示单元内任一点位移的关系式，其矩阵形式为：

式中　｛f｝——单元内任一点的位移矢量；

｛δ｝e——单元的节点位移矢量；

［N］——函数矩阵。

3）分析单元的力学特性

位移模式选定后，就可进行单元的力学特性分析，包括以下3 个部分的内容：

①利用几何方程，由式（4.1）导出用节点位移表示单元应变的关系式为：

式中　｛δ｝e——单元内任一点的应变矢量；

［B］——单元应变矩阵。

②利用本构方程，由式（4.2）导出用节点位移表示单元应力的关系式为：

式中　｛δ｝e——单元内任一点的应力矢量；

［D］——与单元材料有关的弹性矩阵。

③利用变分原理，建立作用在单元上的节点力和节点位移之间的关系式，即单元的平衡方程。 对结构的各个节点应用达朗贝尔原理建立式（4.4）的单元运动方程为：

式中　｛δ（t）｝e——单元节点动位移矢量；

｛Q（t）｝e——单元节点动载荷矢量；

［K］e——单元刚度矩阵。

其中｛Q（t）｝e 由两部分构成：一部分是作用在节点上的外激励力｛F（t）｝e，另一部分是由结构振动产生的惯性力和阻尼力引起的等效节点动载荷｛Pl（t）｝e 和｛PV（t）｝e。 根据以上分析，式（4.4）可变为：

式中　｛F（t）｝e——单元节点外激励力矢量；

｛Pl（t）｝e——单元节点惯性力矢量；

｛PV（t）｝e——单元节点阻尼力矢量。

其中｛Pl（t）｝e 和｛PV（t）｝e 的计算公式为：

式中　ρ——结构材料的密度；

υ——结构的黏性阻尼系数；(www.daowen.com)

［M］e——单元质量矩阵；

［C］e——单元阻尼矩阵。

将式（4.6）、式（4.7）代入式（4.5），即可得到式（4.8）。

4）计算等效结点力

结构经过离散化后，假定力是通过节点从一个单元传递到另一个单元的，但是作为实际的连续体，力是从单元的公共边界传递到另一个单元的。 因而就要用等效的节点力来替代所有作用在单元上的力。 替代方法是按照作用在单元上的力等效为节点力，在任何虚位移上的虚功都相等的原则进行。

5）整体分析

整体分析，即集合所有单元的刚度方程，主要包括以下4 个方面：

①由单元刚度矩阵［K］e 集合成整体刚度矩阵［K］；

②由单元质量矩阵［M］e 集合成整体质量矩阵［M］；

③由单元阻尼矩阵［C］e 集合成整体阻尼矩阵［C］；

④将作用于各单元的单元节点外激励力矢量F（t）e 集合成总的外激励力矢量｛F（t）｝。

于是可得整个结构的刚度方程为：

式中　｛δ（t）｝——整体结构的节点位移矢量。

6）求解方程

这里以有限元计算结构动态特性为例，方程中的［C］和｛F（t）｝均为零，式（4.9）就变成了式（4.10）。

对式（4.10）进行求解，即可得到系统的动态特性参数。

（2）解析法分析的一般步骤

利用有限元法对部件进行计算模态分析，其主要过程如下：

①首先借助三维建模软件（如NX、CATIA）建立三维几何模型。

②利用有限元前处理软件（如ANSA、Hypermesh、MSC.Patran）对几何模型进行前处理，即合理划分网格、形成计算模型，包括单元类型的选择、单元精度的确定、边界条件的定义以及材料属性的定义，建立有限元模型。

③将有限元模型导入求解器（如MSC.NASTRAN、ABAQUS、ANSYS）进行计算。

④利用有限元后处理软件读入分析结果，检验、修改所建模型，并完成报告。

这一过程是往复、复杂的，有限元模型需要进行修改以保证其精度。 建模时，既要如实地反映部件实际结构的力学特性，又要尽量采用较少的单元和简单的单元形态。

一般来说，解析法求模态的关键在于特征值的提取算法。 MSC.NASTRAN 提供了9种算法，可分为以下3 类：

①跟踪法（Tracking Method）：实质上是一种迭代法，首先将预估的特征矢量和特征值代入运动微分方程式，得到新的估算值，直到达到所需精度为止，满足精度的值即模态参数。

②变换法（Transformation Method）：即通过矩阵运算将运动微分方程式转换为［A］｛ϕ｝＝λ｛ϕ｝，其中［A］为三角阵，这样一次求解可得全部特征值，适于维数小，元素满的矩阵。

③兰索斯法（Lanczos Method）：一种矢量正交化方法，是跟踪法和变换法的结合，在保证效率的同时也不会丢根，对大、中型问题非常适合，具有较好的性能优势，对于计算非常大的稀疏矩阵的几个特征值问题是最有效的。

对摩托车及全地形车车架进行计算机仿真分析的总体步骤是：利用NX 3.0 或CATIA建立几何模型，采用ANSA／Hypermesh／MSC.PATRAN 进行前处理以建立有限元模型，最后通过MSC.NASTRAN 计算求解，借助MSC.PATRAN 读取结果，进行后处理。