霍金曾经说,哥德尔因证明了“不完备性定理”而名震天下。该定理是说,不可能证明所有真的陈述,即使你只试图证明像算术这么简单明确而且枯燥的学科中所有真的陈述也是不可能的。这个定理也是我们理解和预言宇宙能力的基本极限。

1931年,哥德尔的“不可判定性”结果破坏了数学大师希尔伯特的必然性。哥德尔的证明也是思想史上最完善的成果之一：“没有一个有意义的形式系统能够强化到足以证明或反证它所能提出的每一个语句。”这也就是说,哥德尔证明了在数学中总有一个不可知。也就是人们常说的凡事要想打破砂锅问到底是得不出结果的。

一个没有学过高等几何或几何基础的人,对希尔伯特的公理体系可能弄不太清楚,因而对哥德尔的“不完备性定理”(也称“不可判定性”)也不知是怎么一回事。下面就简要地介绍一下这个问题。

人们对欧几里得几何并不陌生,然而对欧几里得的《几何原本》就不一定十分清楚了。《几何原本》在逻辑上存在许多缺陷,人们发现该著作在逻辑结构上有许多不足,而最严重的不足是该书在论述中做了许多默认的假定,而这些假定是它的公设所不能承认的。例如对直线的无界和无限没有分清楚,直线可以无限延长,但直线不一定意味着是无限的,而只意味着是无端的或无界的。然而欧几里得不自觉地假定了直线的无限性。他的某些原始定义也受到批评。欧几里得曾经试图给其论著中的所有术语下定义。然而,要明确地定义一篇论述中的所有术语,实际上是不可能的。因为,一个术语必须用另一个术语来下定义,而这些定义还要用别的术语来定义,可以一直类推下去。例如像点和线的定义,“点没有部分”和“线有长无宽”显然是循环的定义,所以从逻辑上来看,这是令人遗憾且不适当的。

因为任何一个公理体系必然要使用一些不加定义的原始概念,几何学也不例外。因此,对“点”“线”“面”等下定义既是不可能的,也是不必要的。同时,《几何原本》的公理是不充足的,缺少至关重要的顺序公理、连续公理以及合同公理。因此,作图凭偶然,证明靠直观,逻辑欠严密。英国的哲学家罗素对《几何原本》的批评是：欧几里得的定义并不总是下了定义的,欧几里得的公理并不总是不证明的,他的证明需要许多他还没有完全意识到的公理。一个正确的证明,即使没有画出图形,也仍然能保持其理证的力量。但是在这个检验面前,欧几里得的许多早期证明就站不住脚了。

直到19世纪末20世纪初,几何学的基础被深入研究之后,才为欧几里得的平面几何和立体几何提供了令人满意的公设集合。

1899年,希尔伯特的名著《几何基础》问世,此书集欧几里得以来两千多年几何研究成果之大全。用近代观点给出了一个自然、简明、全面、严格的初等几何公理系统,从而使《几何原本》的缺陷得到了根本克服。(www.daowen.com)

希尔伯特对公理提出了三条逻辑上的要求。第一条,公理应该是协调的：从给出的公理出发,不应推出互相矛盾的结果。第二条,公理应该是独立的：不应该有多余的能从其他公理及命题逻辑地推导出来的公理。第三条,公理应该是完备的：从给出公理出发,无需加入新的公理,就能通过逻辑推理,建立起完备的理论体系。换而言之,公理系统必须是够用的。

希尔伯特的功绩在于通过构筑算术模型,将欧氏几何的概念以及相互关系做出相应的算术解释,将欧氏几何的公理转化为算术命题,从而将欧氏几何的协调性归结为算术公理的协调性。因为从直观上让人们相信算术公理是协调的,也就是相信欧氏公理体系协调得到了解决。希尔伯特不满足于这点,试图对公理体系的协调性给出一个绝对的证明,但是没有成功。

1900年,希尔伯特在巴黎国际数学家第二次代表大会上做了题为“数学问题”的历史性报告。在报告中,他提出了23个尚未解决的重大数学问题。这推动了20世纪数学的研究和发展,能够解决其中某一个问题的人,都会成为世界上数学方面的著名人物;同时,该成果也会被人们认为是数学史上的一项了不起的光辉成就。由此可见,这23个数学问题的威力是如此巨大。而对于算术公理体系协调性的证明,就是希尔伯特23个数学问题中的第2个问题。

由于多种几何公理体系的模型都能与算术模型同构,因而,证明了算术公理体系的协调性问题,就意味着许多几何模型各自协调的问题得到了解决。1931年之前,希尔伯特的巨著《数学基础》是形式主义学派的“数学原理”。希尔伯特曾指出解救古典数学是成功还是失败全在于相容性问题的解决与否。希尔伯特希望以适当的公理体系来证明,矛盾的公式永远不出现。

1931年哥德尔指出：想要像希尔伯特体系对整体古典数学那样,用属于此体系的方法证明此体系的相容性是不可能的。这个著名的结论是一个更为基本的成果的推论;哥德尔证明了希尔伯特体系的不完全性——即他证明了在这样的体系内存在“不可判定的”问题(如体系的相容性就是其中之一)。