天文学长期以来一直在促进数学的发展,有一个时期,“数学家”的称呼指的就是天文学家。哥白尼既是天文学家也是数学家。17世纪,伽利略创立动力学,开普勒宣布他的行星运动三定律,笛沙格和帕斯卡开辟了纯正射影几何,笛卡儿创立了现代解析几何学,费马为现代数论奠基,惠更斯在概率论及其他领域做出了杰出的贡献。在17世纪大批数学家做好了准备的基础上,牛顿和莱布尼茨创立了微积分这一划时代的勋绩。

现代科学精神是实验和理论的和谐。这首先应归功于伽利略,他创立了自由落体的力学定律,并为一般动力学奠定了基础。据此,后来的牛顿才有可能建立这门学科。谁也不会想到公元前3世纪希腊人发现的圆锥曲线,在2000年后开普勒竟然会把它用来描述天体中行星运动的轨道。牛顿最主要的著作《自然哲学的数学原理》中,第一次有了地球和天体主要运动现象的完整的动力学体系和完整的数学公式。事实证明牛顿的这部著作是在科学史上最有影响,也是荣誉最高的著作。在爱因斯坦的相对论出现之前,整个物理学和天文学都是以牛顿在这部著作中所做出的一个特别合适的坐标系这种假定为基础的。

19世纪,数学沿着两个显然相反的方向迅速成长。它把微积分这个工具改进为严格的分析体系,使数学、物理中强有力的理论成为可能;这些理论最终导致了量子力学、相对论的诞生,从而使人们对物质和空间的基本性质有了更深入的了解。例如,非欧几何纯粹抽象的研究导致爱因斯坦相对论所必需的模型的产生。正如怀特黑德所说：极端的抽象是真正的武器,用以控制对具体事物的思维。这个似乎矛盾的说法,现已完全成立。

彭罗斯在《宇宙几何学》中说明了非欧几何可能是宇宙的“真实”模型。20世纪70年代,霍金与彭罗斯一道证明了著明的奇点定理,之后霍金还证明了黑洞的面积定理。

2000多年来,数学以两种不同的风格,向着抽象化、一般化、统一化、多元化的方向发展,数学越来越成为社会实践和科学研究中不可缺少的重要工具,有人甚至认为数学是探索自然奥秘,打开科学宝库的“一把钥匙”。

数学大师陈省身曾经说过,数学能够超前描述客观世界的理由在于“科学本身的整体性”。他在一次数学演讲中谈道,场论与微分几何是不能分开的。场论的开拓人是黎曼,引入了一个很重要的概念——流形(manifold)。空间有三个坐标,黎曼认为有时候你要讨论这种空间,它的坐标可以允许交换,不一定是长、宽、高等,也可以是任意的函数。这个空间的坐标可以经过任何一个可微分的变换,这样的空间叫作微分流形。这是数学上的一个革命性的演进,一般人要想理解它还是一件比较困难的事。

爱因斯坦于1905年发表狭义相对论,到1916年才发表广义相对论,把引力的观念建立在黎曼几何的基础上。引力场是一种黎曼度量,爱因斯坦认为时空的坐标没有几何意义不能习惯,所以一直研究到后来觉得非要用微分流形的观念不可。结果微分流形的观念就成为广义相对论的基础工具。因为在任意曲线坐标中来研究四维几何的一般张量分析这种数学工具,可以用来满足爱因斯坦广义相对论中的广义协变的要求。也就是说,利用张量分析,人们就可以将物理定律表达成为在任何参考系中都一样的数学形式。

杨振宁的伟大贡献就是Yang-Mills方程,把一维的纤维丛推广到二维。这是很了不起的推广,在物理上有重要的应用。众所周知,引力场、电磁场、强场、弱场都是规范场,但是规范场的数学基础是出现在杨振宁的贡献之前。Yang-Mills方程的理论是非交换的规范场理论的第一个例子。这些理论的几何基础是带有酉连络的复平面丛。统一所有场论的研究工作近年来已集中到一个规范理论上,也就是一个以丛和连络为基础的几何模型。

丛、连络、上同调、示性类这些概念都是数学中十分精深的概念,在几何学中它们都是经过长期的探索和试验才定形下来的。杨振宁对这些概念出现在几何学中,感到十分惊奇和不理解,杨振宁说：“非交换的规范场与纤维丛这个美妙的理论——数学家们发现它的时候并没有参考物理世界(即并非通过实体,而是头脑思维的创造)——在概念上的一致,对我来说是一大奇迹。”

1975年,杨振宁对陈省身讲：“这既是使人震惊的,又是使人感到迷惑不解的。因为你们数学家是没有依据地虚构出这些概念来的。”这种迷惑是双方都有的。事实上,有人谈起数学在物理学中的作用时,曾说过数学的超乎常理的有效性。还是数学大师陈省身说得好,如果人们一定要找一个理由的话,也许可以使用“科学的整体性”这个含糊的词儿来表达。大数学家韦尔也曾说过：数学工作正像语言或音乐一样,是人类的一种创造性活动,本质上是独创的,因此,不可能使它完全而客观地合理化,这大概是历史的决定吧。

1943年,陈省身被邀请到美国普林斯顿高等研究院去做研究工作,他发表了许多微分几何的开创性成果,被大数学家A.韦依称赞为：“开创了微分几何的新纪元。”综合陈省身在数学上的业绩和贡献,杨振宁写了一首《赞陈氏级》的诗：

天衣岂无缝,匠心剪接成。

浑然归一体,广邃妙绝伦。

造化爱几何,四力纤维能。

千万寸心事,欧高黎嘉陈。(www.daowen.com)

注：“欧高黎嘉陈”即欧拉、高斯、黎曼、嘉当和陈省身。将陈省身与世界历史上公认的四位几何大师并列,足以说明陈省身在数学上的伟大贡献。

谈到数学,令人难以忘怀的是陈景润院士对哥德巴赫猜想的验证,即陈氏定理“1+2”。作为一流的学者,陈景润与英国的宇宙学家霍金确有很多相似之处和可比之处,他们两位都是当今世界一流的学者,他们两位都具有十分传奇的色彩,而且其病弱的躯体和天才的头脑又恰巧形成了十分鲜明的对比,给人们留下了十分深刻和难忘的印象。因此,霍金的《时间简史》和陈景润的《大偶数表为一个素数及一个不超过二个素数的乘积之和》(简称“1+2”),都令人津津乐道,家喻户晓,受人们称赞与喜爱,也深受媒体的关注和追捧。

陈景润1933年5月22日出生于福建省今福州市郊,1996年3月19日病逝于北京。他于1980年当选为中国科学院院士,他除了辉煌的“1+2”之外,在圆内整点、华林问题、殆素数分布等问题上,至今仍保持国际领先地位,他的陈氏定理“1+2”于1982年荣获第二届全国自然科学奖一等奖。在数学史上,陈景润的辉煌成就,将永放光芒。他一生劳累多病,英年早逝。1996年3月19日,贵州省数学学会专程派人到北京参加陈景润院士逝世后召开的悼念大会,在会上敬献花圈的挽联上,写下了28个醒目大字：

景色壮观耀数苑,

润泽华夏无所求;

永为数坛一贤圣,

生命融于猜想中。

这是一首藏头诗,意为“景润永生”。

华罗庚教授对陈氏定理“1+2”的评语是：“1+2的证明真是令我此生中最为激动的成果!”

中国科学院王元院士对“1+2”的评语是：数学的研究,本来就是在挑战人类智力的极限,而中国的数学家们愿意这样说：陈景润是在挑战解析数论领域250多年智力极限的总和!

霍金先生出生于1942年,1962年毕业于英国牛津大学,当彭罗斯在1965年创作其有关黑洞的定理时,霍金还是剑桥大学的一名博士研究生,后来与彭罗斯一道合作发表论文,此论文证明了：假设广义相对论是正确的,而且宇宙包含着我们观测到的这么多物质,则宇宙过去一定有过一个大爆炸奇点。1973年,霍金考虑黑洞附近的量子效应,发现黑洞会像黑体那样发出辐射。这个发现意义很重大,因为它将引力、量子力学和热力学统一了起来。后来霍金又开创了引力热力学,到1980年,他的兴趣转向了量子宇宙学的研究,量子宇宙学在于它能真正使宇宙论成为一门成熟的科学。霍金的一生极富传奇性。他是历史上最杰出的一位科学家,而他做出的贡献又正是在他被肌萎缩性侧索硬化症禁锢在轮椅上的情形之下所做出来的,这是令人称奇的,真正是空前的。霍金的贡献对于人类认识宇宙的观念有着极为深远的影响,因而名震天下。20世纪80年代,他担任了剑桥大学卢卡斯数学教授(这一个职位过去曾经由著名的科学家牛顿担任过)。霍金先生被推崇为继爱因斯坦之后最杰出的理论物理学家和宇宙学家。

陈景润与霍金这两位科学界的奇人,有一些非常相似之处,就是他们所研究的东西都比较抽象,但其结论却往往通俗易懂。因为哥德巴赫猜想和一些数论问题可以对每一个中学生都能讲清楚,而且许多学生也十分感兴趣;对学好数学和学好科学知识,培养学习兴趣都是十分有益的。在《时间简史》中,霍金对天体演化宇宙学、天文学等物理学现代理论做出了一些非常出色和生动的描写,正如人们称赞的：“它是当代物理学有关宇宙组成、创生和演化的权威总结”。虽然不像“1+2”那样人人能懂,但由于举例生动,以及书中还附有240多幅彩色插图增添情趣,让非专业的读者也能对其产生十分浓厚的兴趣,因此此书成为当今世界畅销的著作之一,其发行量已超过2000万册,成为国际出版史上较牛的一本书,堪称世界科普著作的里程碑。

数论和宇宙学,“哥德巴赫猜想”和“黑洞”究竟是否存在,现在人们对其研究的劲头正甚,不知何年何月才能弄个水落石出。但是这两门学问(数论和宇宙学)就是这样在专家和群众之间保持着张力,使得学校教育很容易引入。培养孩子对科学神秘性的向往,这两门学问是最好的切入口。