1. 断裂点模型

该模型的核心内容是：城市的吸引区是与该城市的规模成正比，与区域到该城市的距离成反比，相邻城市间的吸引力达到平衡时的点即为断裂点。该模型常被用于划分载体城市的吸引区。断裂点模型的计算式为

或者

式中，d_i、d_k为断裂点到城市i、k的距离；D_ik为城市i和城市k之间的最短交通距离；P_i、P_k分别为城市i和城市k的人口规模。

在实际应用中，断裂点模型仍存在许多不足。

（1）公式中以城市人口作为城市的吸引力，这并不全面，因此本书中采用城市综合实力作为城市的吸引力。

（2）公式中计算得出的是两个城市之间的一个点，但是两个城市之间吸引区划分为一条线，在划分线时具有较大的任意性，不够严谨。

2. 泰森多边形

泰森多边形具有空间划分的功能，其特点是位于泰森多边形网格中的任意点到该网格中心的距离均小于到其他网格中心的距离。基于此特点，在城市吸引区划分研究中常用到泰森多边形（见图4-6）。

1）常规泰森多边形

设平面上的空间目标集合为P={p₁，p₂，…，p_n}，其中任意两点不共位，任意4点不共圆。将式（4-9）作为任意点p_i的泰森多边形区域。

式中，d是欧氏距离函数。(www.daowen.com)

虽然常规泰森多边形已经应用于许多实际问题中，但是因为没有考虑到空间目标规模因素对吸引区划分的影响，所以限制了其应用领域。

2）加权泰森多边形

加权泰森多边形的定义如下：设X=（X₁，X₂，…，X_n），n（n≥3）为二维欧式空间下的一个控制点集；λ_i（i=1，2，…，n）是给定的n个正实数，x为区域内任意一点，则定义式为

将平面分为n个部分，由V_n（x_i, λ_i）（i=1，2，…，n）确定的对平面的分割称为点上加权的泰森多边形，其中，称λ_i为X_i的权重。与常规泰森多边形不同的是，加权泰森多边形打破了常规泰森多边形“等质”的概念，适用于各发生元权重有明显差别的情况下的空间分割。可以认为，在加权泰森多边形所划分出的各个区域内的所有点受该区域的发生元影响最大。

图4-6　常规泰森多边形与加权泰森多边形

（a）常规泰森多边形　（b）加权泰森多边形

3. 加权泰森多边形与断裂点模型相结合

对断裂点公式进行分析，可得出以下推论：区域中以各个城市点为发生元，其影响力扩张速度与两个城市的综合实力的平方根成正比。即

基于该推论，可以生成以各个城市的综合实力平方根为权重的加权泰森多边形。根据加权泰森多边形的性质可知，两城市之间的吸引区界限为一条弧段，断裂点则是该弧段上的特殊点，断裂点扩展为断裂弧。由此，构建断裂点模型与加权泰森多边形相结合的定义式为

本书运用ArcGIS软件进行求解。ArcGIS是一种集数据采集、数据处理、数据管理和分布三大功能于一身的软件，应用领域十分广泛。其中由于ArcGIS软件能够提供比较直观的可视化效果，并且将所有信息以其地理位置为基础进行显示、查询和统计，所以在交通运输领域方面也有涉及。