浸没在气流中的任一物体都会受到气流的作用，这种作用通常称为空气力作用。当气流绕过一般为非流线型（钝体）截面的桥梁结构时，会产生涡旋和流动的分离，形成复杂的空气作用力。当桥梁结构的刚度较大时，结构保持静止不动，这种空气力的作用只相当于静力作用；当桥梁结构的刚度较小时，结构振动得到激发，这时空气力不仅具有静力作用，而且具有动力作用。风的动力作用激发了桥梁风致振动，而振动起来的桥梁结构又反过来影响空气的流场，改变空气作用力，形成了风与结构的相互作用机制。当空气力受结构振动的影响较小时，空气作用力作为一种强迫力，引起结构的强迫振动；当空气力受结构振动的影响较大时，受振动结构反馈制约的空气作用力主要表现为一种自激力，导致桥梁结构的自激振动。当空气的流动速度影响或改变了不同自由度运动之间的振幅及相位关系，使得桥梁结构能够在流动的气流中不断汲取能量，而该能量又大于结构阻尼所耗散的能量，这种形式的发散性自激振动称为桥梁颤振。

桥梁颤振物理关系复杂，振动机理深奥，因而桥梁颤振稳定性研究也经历了由古典耦合颤振理论到分离流颤振机理，再到三维桥梁颤振分析的发展过程。随着桥梁跨径的日益增大，结构刚度下降，特别是侧向刚度的下降，导致了侧弯与扭转振型紧密耦合。此外，结构各阶自振频率的差异也越来越小，两个或两个以上振型参与颤振的可能性逐渐增加。因此为了提高桥梁颤振分析的精度，有必要寻求具有更高精度的三维桥梁颤振分析方法。目前基于Scanlan理论的桥梁三维颤振计算分析主要有三种方法：频域分析法、时域分析法、频域和时域混合分析法。下面分别介绍这三种方法的求解思路。

1）频域分析法

频域分析法一般实用于线性的、满足叠加条件的、小变形的结构动力学问题，目前三维桥梁颤振分析中主要采用Scanlan的气动力模型，该模型将气动力表达为位移和速度的线性函数，自激力的表达式是频率的函数。当桥梁被离散为具有n个自由度的结构后，其运动方程可以表达为各个自由度的惯性力、阻尼力、弹性力和外加荷载的平衡方程。令结构位移向量为｛δ｝，则运动方程如下所示［14］：

式中 ｛F｝——外部荷载向量；

［Ms］——结构质量矩阵。

结构刚度矩阵：

［Ks］=［Ke］+［Kg］

式中 ［Ke］——弹性刚度矩阵；

［Kg］——几何刚度矩阵。

结构阻尼矩阵［Cs］=a0［Ms］+a1［Ks］，为结构质量矩阵和结构刚度矩阵的线性叠加，其中a0、a1表示实常数。

对于一座受到横向风作用的大跨度桥梁，颤振分析时的外荷载只需考虑自激气动力：

式中 ｛Fd｝——气动阻尼力；

｛Fs｝——气动刚度力；

［Ad］——气动阻尼矩阵；

［As］——气动刚度矩阵。

将式（7-32）代入式（7-31），得到颤振运动方程：

类似有阻尼自由振动方程：

其中，系统质量矩阵［M］=［Ms］，系统刚度矩阵［K］=［Ks］-［As］，系统阻尼矩阵［C］=［Cs］-［Ad］。

在求解系统颤振方程［式（7-34）］时，假定发生颤振时结构振动幅值足够小，这是因为颤振求解时主要考虑的是颤振失稳前的临界状态。这样只需研究具有指数时程的振动，因为其他振动都可以表达为其叠加的形式。因此结构位移向量可以假设为｛δ｝=｛φ｝eλt，将｛δ｝及其导数代入式（7-34），得到

式中 λ——系统特征值；

｛φ｝——对应的系统特征向量。

只有当方程左端的矩阵奇异时，式（7-35）才具有非平凡解。这样将颤振问题转化为求解二次特征值问题。具体求解过程参考文献［14］。

2）时域分析法

时域分析法可以充分考虑非线性、不满足叠加条件的大变形的结构动力学问题。Sarka和Jones考虑了桥梁断面侧向位移对其气动性能的影响，提出了用18个颤振导数表示的气动力公式。由于自激力的表达式是频率的函数，因此不能直接应用于时域分析。而需要考虑脉动风影响的时候，必须要获得自激力的时域表达式。于是Scanlan将Wagner提出的经典阶跃函数（indicial function）的概念引入到桥梁抗风研究中来，提出了用阶跃函数来描述随机振动时的气动力表达式，如下所示：

式中 h（t）、p（t）、α（t）——结构竖向、横向和转角位移；

——CL、CM的斜率；

Xh、Xp、Xα——待定的气动力系数；

XL（t）、XM（t）——气动力阶跃函数。

Scanlan构造了气动力阶跃函数的表达式，并通过最小二乘方法确定了其中的待定系数。用阶跃函数表达气动力的最大优点是其纯时域的表达式，可以直接运用到时域求解颤振抖振问题。这个方法的缺点在于其需要确定各个自由度上的导数，而Wanger函数的局限性导致了耦合项气动力阶跃函数难以确定。Lin从脉冲响应函数的角度出发，提出了用脉冲响应函数来表示自激力的时域表达式，如下所示：

式中 h（t）、p（t）、α（t）——结构竖向、横向和转角位移；(www.daowen.com)

fLh（t）、fLp（t）、fLα（t）、fDh（t）、fDp（t）、fDα（t）、fMh（t）、fMp（t）、fMα（t）——脉冲响应函数。

Lin将经典机翼理论中的Roger有理函数式引进到桥梁自激力的计算中来，获得了非定常传递函数的一种近似表达式，采用递推方式求解其中的卷积项。根据动力学平衡方程，可建立如下所示的增量动力平衡方程［14］：

式中 ΔF［y（t）］——荷载的增量；

——位移增量、速度增量和加速度增量。

阻尼采用瑞利阻尼模型，采用Newmark-β方法求解非线性动力平衡方程。时域方法求解步骤如下［14］：

（1）建立大桥三维有限元模型。

（2）进行重力作用下的静力分析，更新有限元模型的几何坐标和单元应力状态，以此考虑结构的初始内力状态对颤振稳定性能的影响。

（3）进行静风荷载作用下的静力分析，更新有限元模型的几何坐标和单元应力状态，考虑静风荷载对悬索桥结构的预应力效应。

（4）在某一确定风速下，根据静风荷载和重力荷载的新平衡位置构造极值函数，拟合时域气动自激力表达式的待定系数，更新自激气动力。

（5）采用常加速度方法进行有预应力状态的几何非线性动力时程分析，提取关键点的各个自由度随机振动时程信号。

（6）根据时程信号判断结构振动的形态，若振幅为衰减状态，则认为没有达到颤振临界状态，此时需要增加风速，重新进行计算；若振幅为发散状态，则认为已经超过了颤振临界状态，则需要减小风速重新进行计算；如果振动为等幅振动，则可认为此时已经达到颤振的临界状态，即可输出颤振的临界风速和颤振频率。

3）频域和时域混合分析法

由于时域计算需要通过复杂的过程将频域的自激力转化到时域中来，出现了综合两种方法优点的频域和时域混合分析法，这种方法可以不经过频域到时域的转换而直接实现时域的增量分析。由于位移增量、速度增量和加速度增量均为频率和时间的函数，所以该方法的动力增量平衡方程为时间和频率的函数，如下所示［14］：

式中 ΔF［y（ω，t）］——外荷载F［y（ω，t）］的增量。

F［y（ω，t）］=｛F（ω，t）｝+｛Fst｝+｛Fa（ω，t）｝

式中 ——位移增量、速度增量和加速度增量；

｛F（ω，t）｝——自激气动力等效荷载。

式中 ｛Fst｝——静风荷载；

｛F（aω，t）｝——惯性力；

｛Y（t）｝——结构位移向量。

采用Newmark-β方法求解上述非线性动力平衡方程。该方法由于方程中有两个未知数，首先需要假定一个结构振动频率。根据上述计算原理，频域和时域颤振分析的基本思路如下［14］：

（1）建立大桥三维有限元模型。

（2）对于需要考虑气动力的构件增加气动单元，包括气动阻尼单元和气动刚度单元。

（3）进行重力作用下的静力分析，更新有限元模型的几何坐标和单元应力状态，以此考虑结构的初始内力状态对颤振稳定性能的影响。

（4）进行静风荷载作用下的静力分析，更新有限元模型的几何坐标和单元应力状态，考虑静风荷载对悬索桥结构的预应力效应。

（5）在某一确定风速下，假定一个初始振动频率f0，通常是第一阶正对称扭转和第一阶正对称竖弯频率之间的一个数值，采用常加速度方法进行有预应力状态的几何非线性动力时程分析，提取关键点的各个自由度随机振动时程信号。

（6）根据样本的信号时程，求解振动频率f，判断这个频率和初始频率的关系，进行循环迭代，直到f=f0，循环结束，输出最终的时程信号样本。

（7）根据最终的时程信号判断结构振动的形态，若振幅为衰减状态，则认为没有达到颤振临界状态，此时需要增加风速进行计算；若振幅为发散状态，则认为已经超过了颤振临界状态，则需要减小风速重新进行计算；如果振动为等幅振动，则可认为此时已经达到颤振的临界状态，即可输出颤振的临界风速和颤振频率。

随着悬索桥跨径向2 000 m级发展，由大攻角和大振幅引起的结构非线性和气动力非线性影响突出，颤振设计面临着前所未有的挑战。传统的桥梁颤振计算理论及方法已无法满足大跨度及超大跨度桥梁的抗风设计需求，亟须发展桥梁非线性颤振计算理论与方法。文献［15］回顾了线性颤振理论研究成果，对近年来国内外关于桥梁非线性颤振的研究进展及主要成果进行了总结，介绍了非线性自激气动力的研究成果和几种典型的非线性自激气动力模型，并根据桥梁断面气动力随振幅变化的非线性特性，重点介绍了两种不同类型的非线性耦合颤振计算方法，其有效性和准确性均通过风洞试验进行了验证。