有限元基本方程建立和有限元计算需要确定材料模型，确定其应力-应变本构关系，主要包括屈服条件、流动准则及强化准则。

1．典型的应力应变关系

表2-2给出了目前常见的六种典型的材料应力-应变关系曲线，每种模型曲线都有自己的特点［40］［41］。对CHS钢管节点滞回性能的研究，一般采用双线性强化弹塑性本构模型。

表2-2　典型的应力-应变曲线

2．钢材的屈服条件、流动法则和强化条件

在塑性理论中初始屈服条件、流动法则和强化准则是三个重要的准则，用此准则描述材料弹塑性发展的数学关系［41］。

（1）初始屈服条件

材料的单向应力状态就是拉、压达到屈服应力σy为初始屈服界限（弹性状态的界限）的状态。但在复杂应力空间中，对于受力物体内质点则处于多向应力状态，必须考虑所有的应力分量。在变形温度、变形速度等一定的变形条件下，当各应力分量之间符合一定关系时，质点才开始进入塑性状态，这种关系称为塑性条件，也称屈服准则。它是用来描述在不同应力状态下，受力物体中的质点进入塑性状态并使塑性变形继续进行所遵循的力学条件。一点处应力张量的函数f（σij）可以将其定义为等效应力σe。对于金属材料的屈服条件，通常采用Von-Mises屈服条件和Tresca屈服条件。在主应力方向已知的情况下，用Tresca屈服条件来求解问题是比较简单的方法。但在主应力方向未知的情况下，屈服函数比较复杂，在有限元法中很少采用。目前有限元分析中通常采用Von-Mises屈服条件，即当等效应力达到材料屈服参数σy，材料会发生塑性应变。

（2）流动法则

物体屈服时塑性应变的方向用流动法则来描述，式（2-28）为流动法则的数学描述，它表示塑性应变增量与屈服函数的相关性。

其中，λ——未定的标量因子，也称塑性乘子，决定塑性应变的大小；

Q——塑性势函数，决定塑性应变的方向。

通常假定塑性应变在垂直于屈服面的方向上发生，即Q为屈服函数，这种流动法则称为相关流动法则。

（3）强化条件

等向强化、随动强化和混合强化是材料本构关系中的三种强化模型。在等向强化中，加载面围绕应力空间原点均匀扩张，并保持和初始屈服面同样的形状，如图2-3a所示。随动强化假设在塑性变形过程中屈服曲面在应力空间中作刚性移动，移动时保持屈服面的大小、形状和方位，如图2-3b所示。混合强化是Hodge［40］提出的一种将随动强化模型和各向同性强化相结合的模型，即假设加载面不仅移动，而且还按各向同性强化规律扩张或收缩，如图2-3c所示。

根据材料行为，又可将等向强化和随动强化分为双线性和多线性两类。一般在进行钢管节点静力承载力有限元分析时采用等向强化模型，分析节点在往复荷载下的滞回性能时采用随动强化模型，此观点也得到了相关专家的证实。C．K．Soh［42］对完全搭接K型圆管节点的滞回性能采用随动强化模型进行了分析，并与实验结果进行对比，发现在节点裂缝发生之前，实验值与有限元模拟结果吻合较好，在裂缝发生后，尤其是在受拉半循环，有限元结果明显大于实验结果。Yoshiaki Goto［43］在薄壁柱的滞回性能有限元非线性分析中，比较了随动强化和等向强化模型对滞回性能的影响，发现随动强化模型与实验符合得较好。

图2—3　强化模型

a-等向强化b-随动强化c-混合强化

（4）塑性应变增量

通过强化准则可以看出，表明屈服条件随等向强化或随动强化而变化，在屈服条件公式（2-27）中考虑等向强化或随动强化，可得到式（2-29）。

其中，｛α｝——屈服面的平移量。

k——塑性功。(www.daowen.com)

塑性功可用式（2-30）表示，它是加载历史上所做塑性功的总和。

屈服面的平移量可用式（2-31）表示，它与加载历史有关。

其中，C——材料参数；

εpl——塑性应变。

式（2-32）为经对公式（2-29）微分后所得的协调条件。

其中，

从公式（2-30）可得，

从公式（2-31）可得，

将以上两式代入式（2-32）可得：

通过弹性应力-应变关系可以求出应力增量：

其中，［D］——σ-ε关系矩阵；

εel——弹性应变

其中，｛dε｝——总应变量

将公式（2-28）代入式（2-35）和式（2-37），并将式（2-35）～式（2-37）合并得到式（2-38）。

从上式可以看出，塑性应变增量的大小与当前应力状态、总应变增量、特定屈服面及塑性势有关。在求得后，塑性应变增量可由公式（2-28）计算得到。