工程中的涉及的大多数可以转化为方程组（多为常微分和偏微分方程）的数学问题很难直接用解析法求得准确解。需要用到数值解法逼近求解，将求解区域离散成多个单元求解，主要有两种，即差分法和有限单元法，前者在直接求解基本方程的近似解，后者将基本方程转化为等效积分形式求解。在固体力学方面，有限单元法应用较为广泛。其基本思路是将结构体离散成多个连续有限单元区域，模拟或者逼近求解，单元数目增多有助于提高节点精确度和收敛程度。有限元法分析的基本步骤为：

（1）将分析目标离散化

将进行有限元分析的结构或构件离散为多个连续的有限单元。确定单元形状、节点个数、单元划分个数等。

（2）结合力学问题建立有限元分析基本方程

有限元分析进行结构离散化和单元划分后，需要将相应力学问题用单元节点变量（节点位移）的基本方程表现。

①选择合适的形函数，用单元节点位移表示任一点位移：

式（2-15）中，｛f（x，y）｝为位移矩阵，｛δ｝e为单元节点位移矩阵，［N］为形函数矩阵，形函数对于有限元方程的建立有重要作用，其具有两个重要性质，如式（2-16）和（2-17），掌握形函数性质，便于用其直接写出位移表达式。

②求单元应变关于单元节点位移表达式，通过弹塑性力学中位移与应变的关系式与式（2-15）得：

式（2-18）中，［B］为单元应变矩阵，同一单元应变值为常量。

③通过单元节点位移求单元应力：

式（2-19）中，［D（ε）］为与材料相关的弹性矩阵，当考虑材料非线性时，该矩阵与节点位移关系表现为非线性性关系。(www.daowen.com)

④由节点位移求单元节点力，通过虚功原理推导，单元节点力｛F｝e在其虚位移｛δ＊｝e所做虚功＝单元应力｛σ｝在其虚应变｛ε＊｝所做虚功和：

代入式（2-18），得，

进而有，

以上各式中t为单元厚度为单元面积，记作Δ，故有，

其中，［k］e为单元刚度矩阵，其表达式：

式（2-24）为单元分析得到的有限元平衡方程，上角标e为单元符号。

（3）集成整体平衡方程

（4）根据求解平衡方程，求解节点位移

利用式（2-26）的平衡方程组求解节点位移，如果存在非线性问题，［K］可能是节点位移的函数，不再是常数，方程组则是非线性方程组，无法直接求得解析解，需要用到迭代法和增量法等数值解法求解，随着迭代次数增多，越来越收敛于准确解。

（5）根据求得的节点位移代入式（2-18）、（2-19）计算应力、应变等力学指标。