GPS卫星的运动分为两种：一种是卫星的无摄运动；另一种是卫星的有摄运动。

一、GPS卫星的无摄运动

人造地球卫星绕地球的运动状态取决于它所受到的各种作用力。这些作用力主要有：地球对卫星的引力，太阳、月亮对卫星的引力，大气阻力，太阳光压，地球潮汐力，等等。在这些力当中，地球引力是最为主要的。在多种力的作用下，卫星在空间运行的轨迹极其复杂，难以用简单而精确的数学模型表达。为了研究卫星的基本运动规律，把卫星受到的作用力分为两种：第一种是地球质心引力，等效于质量集中于球心的质点所产生的引力；而实际上地球并非球形，地球引力场对这种类似椭球体的形状会产生非中心的引力，加上日、月引力，大气阻力等便产生了第二种名为摄动力的非中心引力。本次任务介绍忽略所有的摄动力，在仅考虑地球质心引力情况下研究地球的运动，由于在研究无摄运动中，将地球和卫星看做是两个质点，在天体力学里称为二体问题。

1.二体问题的运动方程

研究卫星绕地球运动，主要是研究卫星运动状态随时间的变化规律，根据物理学中牛顿定律可以很方便地得到二体问题的卫星运动方程。

根据万有引力定律，地球受卫星的引力为

式中，M为地球质量，m为卫星质量，G＝6.672×10-8cm3/（g·s2）为万有引力常数，r为卫星在历元平天球坐标系中的位置向量，r为向量r的模，即卫星到地球的距离。

根据牛顿第三定律，卫星受地球的引力Fs，其大小与Fe相同且方向相反，即

根据牛顿第二定律，可得卫星及地球的运动方程为

由此可得，在二体问题下卫星相对地球的运动方程：

由于卫星质量（约774 kg）远小于地球质量（5.97×1021t），因此，通常略去卫星的质量m，并记μ＝GM为地球引力常数。卫星在上述地球引力场中的无摄运动称为开普勒运动，其规律可以用开普勒定律来描述。

2.开普勒定律

卫星在太空中的运动遵循开普勒提出的行星运动定律。开普勒通过观测发现空间天体的运动遵循三个相当简单的数学定律。

（1）开普勒第一定律。

开普勒指出，行星的轨道处在一个平面上，该轨道为椭圆形，太阳位于其中的一个焦点上。此定律同样也适合卫星，卫星也沿平面运转，它们围绕地球运转的轨道为椭圆形，地球位于轨道椭圆的一个焦点上。

卫星轨道椭圆被称为开普勒椭圆，其形状和大小保持不变。在椭圆轨道上，卫星离地球质心最远的一点称为远地点。从该值中减去地球半径（约为6 378 km），就得到了卫星距离地球表面的最大高度。卫星离地球质心最近的一点称为近地点，由该值减去地球半径，即得到卫星距离地球表面的最小高度。

根据公式，可得到卫星绕地球质心运动的轨道方程：

式中，r为卫星的地心距离；αs为开普勒椭圆的长半径；es为开普勒椭圆的偏心率；fs为真近点角，它描述了任意时刻卫星在轨道上相对近地点的位置，是一个时间的函数。

（2）开普勒第二定律。

第二定律的表述是：连接行星和太阳的直线在相等的时间间隔内扫过的面积相等。因此这条定律也被称为等面积定律。同样，该定律也适合卫星，即卫星在过地球质心的平面内运动，其向径在相同的时间内扫过的面积相等。

在轨道上运行的卫星，与任何其他物体一样，也具有两种能量：动能和势能（位能）。势能仅受地球重力场的影响，其大小和卫星在轨道上所处的位置相关。在近地点时，其势能最小，在远地点时，势能最大。卫星在任一时刻t所具有的势能可表示为：。

而动能则是由卫星运动引起的，其大小是卫星运动速度的函数。若取卫星的运动速度vs，则其动能为，根据能量守恒定律，卫星在运动过程中，动能和势能之和应保持不变，即

由此可见，卫星运行在近地点时，其动能最大，在远地点时动能最小。也就是说卫星在远地点的速度最小，在近地点的速度最大，如图1.3.13所示。

图1.3.13　太阳向径在相同时间扫过的面积示意图

（3）开普勒第三定律。

第三定律指出：行星轨道周期的平方与轨道长半轴的立方成正比且为一个常数。而该常数等于地球引力常数GM的倒数。

开普勒第三定律的数学表达式为

式中，Ts为卫星运动的周期，即卫星绕地球运行一周所需的时间。

若假设卫星运动的平均角速度为n，则有：

于是将公式（1.3.14）带入式（1.3.13）可得

显然，当开普勒椭圆的长半径确定后，卫星运行的平均角速度便随之确定且保持不变。这对于计算卫星位置有很重要的意义。

3.卫星运动的轨道参数(www.daowen.com)

由开普勒第一定律可知，卫星运行的轨道是通过地心平面上的椭圆，且椭圆的一个焦点与地心重合。想要确定椭圆的形状和大小只需要确定椭圆的长半径a及其偏心率e这两个参数。另外，为了确定任意时刻卫星在轨道上的位置，需要一个参数，即真近点角。

参数αs、es、和fs，可唯一地确定卫星轨道的形状、大小以及卫星在轨道上的瞬时位置，但无法确定卫星轨道平面与地球体的相对位置和方向。根据开普勒第一定律，轨道椭圆的一个焦点与地球的质心相重合，所以，为了确定该椭圆在天球坐标系中的方向，还需要三个参数。它们分别是：

升交点的赤经Ω，即地球赤道平面上，升交点与春分点之间的地心夹角。（升交点是当卫星由南向北运行时轨道与地球赤道面的一个交点。）

轨道面的倾角i，即卫星轨道平面与地球赤道平面之间的夹角。

这两个参数唯一地确定了卫星轨道平面与地球体之间的相对定向，称为轨道平面参数。

近地点角距ωs，即在轨道平面上，升交点与近地点之间的地心夹角，这一参数表达了开普勒椭圆在轨道面上的定向，称为轨道椭圆定向参数。

卫星的无摄运动，一般可通过一组适宜的参数来描述，但是，这组参数的选择并不是唯一的，上述一组αs、es、Ω、i、ωs、fs参数是应用广泛的参数，称为开普勒轨道参数或者轨道根数。

选用上述6个参数来描述卫星的轨道运动，一般来说是合理必要的。但在特殊情况下，如卫星轨道为一圆形轨道，即e＝0时，参数和V便失去了意义，对于GPS卫星来说　0.01e≈，所以采用上述6个轨道参数是适宜的。至于参数的大小，则是由卫星的发射条件所决定的。一般把6个参数所构成的坐标系统称为轨道坐标系统，在该系统中，当6个参数一旦确定，卫星在任一瞬间相对地球体的空间位置就可确定了。

二、GPS卫星的受摄运动

对于卫星精密定位来说，只考虑地球质心引力情况下卫星的运动状态即只考虑二体运动是不能满足要求的，还必须考虑地球引力场摄动力、日月摄动力、大气阻力、光压摄动力、潮汐摄动力对卫星运动状态的影响。考虑了摄动力作用的卫星运动称为卫星的受摄运动。

1.地球引力场摄动力对卫星轨道的影响

地球的实际形状接近于一个长短轴相差约为21 km的椭球体且内部质量分布不均匀，形状也不规则。所以在北极大地水准面高出椭球体面约19 m，在南极大地水准面凹下椭球面约26 m，而在赤道附近两者之差最大值约108 m。

地球体的这种不规则和不均匀性，会引起地球质心引力和地球引力场摄动力。这时，可以建立一个位函数来表示地球外部空间一个质点所受的作用力。设V是地球引力位，ΔV是摄动位，则有

式中，r为质点地心矢径的模。式右第一部分GM/r为地球形状规则和密度均匀所产生的正常引力位，卫星在它的作用下做二体运动，其轨道为正常轨道；第二部分是摄动位函数。由于地球形状不规则，内部质量分布不均匀，摄动位函数不能用一个简单的封闭公式表示，可用无穷级数（球面数展开式）表示。V是卫星位置的函数，它使卫星运动的轨道参数随时间变化而变化。忽略10-6及更小量级的地球引力场摄动力的位函数可以写成：

式中，J2是地球引力场位函数的二阶带谐系数。

考虑到sinφ＝sini·sin（ω+V），则有

式中，J2为已知的引力场常量，它为10-3量级（天体力学常称为一阶小量）；i，w为轨道参数；r为卫星矢量径的模；V是真近点角。r和V可以进一步化为轨道参数α、e、M和时间t的函数。

由于GPS卫星轨道较高，而随着高度的增加，地球非球形引力的影响将迅速减小。地球引力场摄动位对GPS卫星轨道的影响主要表现如下：

（1）引起轨道平面在空间的旋转。

（2）引起近地点在轨道面内的旋转。

（3）引起平近点角的变化。

2.日、月引力对卫星轨道的影响

如果将日、月作为质点，则其引力是一种典型的第三体摄动力，由此引起的摄动力可以表示为

式中，Ms，Mm分别表示太阳与月球的质量；rs，rm分别表示太阳、月球和卫星的位置矢量。

日、月引力引起的卫星位置摄动，主要表现为一种长周期摄动。它们作用在GPS卫星上的加速度约为5×10-6m/s，如果不考虑此项影响，将造成GPS卫星在3 h弧段上，在径向、法向和切向上产生50～150 m的位置误差。

尽管太阳的质量是月球的几倍，但由于GPS卫星距太阳较远，所以太阳引力的影响仅为月球引力影响的46%。由于太阳系中的其他行星对GPS卫星的影响远小于太阳引力的影响，因此可以忽略不计。

3.太阳光压对卫星轨道的影响

卫星在运行中，将直接或间接受到太阳光辐射压力的影响而使轨道产生摄动。卫星在运动中受到的太阳光辐射压力公式为

式中，K为卫星表面反射系数；ρp为光压强度，在距太阳为地球轨道半径处太阳光压强度通常取4.560 5×10-6N/m；S为垂直于太阳光线的卫星截面积；为太阳在坐标系中的位置单位矢量。

从式（1.3.20）可知太阳光辐射压力对卫星产生摄动加速度，不仅与卫星、太阳、地球三者间的相对位置有关，而且与卫星表面的反射特性、卫星接收阳光照射的有效截面积同卫星质量比有关。当卫星运动到地影区域内，由于地球的遮挡，卫星不受太阳辐射压力的影响。

一般来说，太阳光对GPS卫星会产生摄动加速度。如果忽略这一影响，可使卫星在3 h弧段上产生5～10 m的位置偏差，这种偏差对于基线长度大于50 km的相对定位来说是不容忽视的。还有一部分间接的太阳辐射是由地球表面反射到卫星的，称为反射效应。间接辐射压力对于GPS卫星运动的影响较小，一般只占直接辐射压力的1%～2%，通常可以忽略这一影响。

4.地球潮汐作用力对卫星轨道的影响

日、月引力作用于地球，使之产生形变（固体潮）或质量移动（海潮），从而引起地球质量分布的变化，这一变化将引起地球引力的变化。可以将这种变化视为在不变的地球引力中附加一个小的摄动力——潮汐作用力，这种力对GPS卫星产生的加速度较小。如果忽略固体潮汐的影响，可使卫星在2 d的运动弧段上产生0.5～1 m的轨道误差，如果忽略海洋潮汐的影响，也将会对2 d的弧段产生1～2 m的轨道误差。目前，对大多数的GPS用户来说，此项影响可以忽略不计。

5.大气阻力对卫星轨道的影响

由于大气随着高度的增加而密度降低，所以大气阻力对低轨道的卫星影响较大，其影响量值主要取决于大气密度、卫星截面积与质量之比及卫星运动速度。但在GPS卫星轨道高度上（2×104km），大气阻力已经微不足道，可以不考虑。

综上所述，在人造地球卫星所受的摄动力中，地球引力场摄动力最大，其他摄动力的影响要相对小得多。这些摄动力会引起卫星位置的变化，进而引起轨道参数的变化。